|
Г2 , можно считать выполненным равенство x ( t ) =y2 [ и ( О ]• Продолжая эти рассуждения, мы приходим к описанию решения x ( t ) , которое совпадает с описанием (при помощи принципа отсутствия лишних переключений) неидеального реле с пороговыми значениями а и J3, если Г] совпадает с полупрямой х = О (и <а) , а Г2 —с полупрямой х = 1 (м>Р). Близкие источники возникновения релейных нелинейностей часто возникают в теории дифференциальных уравнений с малыми параметрами, в теории катастроф и т.п. 1.3. Преобразователь Прейсаха . Преобразователем Прейсаха [ 21, 59 ] называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле соединённых параллельно. Ниже рассматривается частный класс континуальных систем реле. Пусть на полуплоскости Ра о = {а,3:а <р} определена положительная, абсолютно непрерывная, интегрируемая на всей полуплоскости функция X = X(а, (3). Определим на полуплоскости Ра р меру р а р равенством Измеримыми по мере р. а>р будут все измеримые по Лебегу множества, в том числе и имеющие бесконечную меру. Мера р а р абсолютно непрерывна относительно двумерной лебеговой меры если выполнено условие (1.15) (1.16) О где |
равенство л:(/) = у2[м(/)]. Продолжая эти рассуждения, мы приходим к описанию решения x ( t ) , которое совпадает с описанием (при помощи принципа отсутствия лишних переключений) неидеального реле с пороговыми значениями а и (3, если Г, совпадает с полупрямой х =0 (и < а ) , а Г2 —с полупрямой jc= 1 (м>Р). Близкие источники возникновения релейных нелинейностей часто возникают в теории дифференциальных уравнений с малыми параметрами, в теории катастроф и т.п. Разрывные входы. В сложных системах на звено, математической моделью которого является неидеальное реле, могут поступать сигналы, не обладающие свойством непрерывности: В этих случаях приходится определять значения операторов R[t0 ,х0 ;а , Р] на некоторых классах разрывных входов. Для этого могут применяться различные конструкции. Изложим здесь одну из них. Функцию и ( О назовем кусочно-непрерывной, если она имеет на каждом конечном промежутке [/0 , tx] изменения аргумента лишь конечное число точек разрыва, каждая из которых — точка разрыва первого рода. Иначе говоря, если т , , , t„_j точки разрывакусочно-непрерывной функции и (/) ( /0< t е. и (t0 ) =vt ( t0 ) . Зададимся произвольным h> 0 и сопоставим описанной выше кусочнонепрерывной функции и ( t ) непрерывную на [/0 + (я-1)Л ] функцию wh(t), которая на каждом промежутке [ т г+ ( у 1 ) /г, Ту +( j I ) h ] определена равенством wh ( t ) = v •[t —( j —1) h ] и на каждом промежутке 28 [xj + ( j 1) h »T/ + j h \ линейна. Кусочно-непрерывную функцию и (/) естественно считать «хорошим» приближением функции wh (t ), если h мало. Функции wh( t ) позволяют распространить операторы R [/0, х0 ;а , 3] на кусочно-непрерывные входы и (t) равенством Д[>0,х0 ;а,р]м(Л) = ^А[t +( j ~ l ) h ] ( ij-i Изложенная конструкция почти без изменений переносится на произвольные разрывные входы u(t), вариация которых на каждом ограниченном промежутке [t0, tx] конечна. 1.3.Преобразователь Прейзаха —Гилтая Преобразователем Прейзаха —Гилтая (см., например, [21, 59]) называют континуальный аналог преобразователя, состоящего из неидеальных реле соединенных параллельно. Ниже рассматривается частный класс континуальных систем реле. Пусть на полуплоскости Ра>р-= {а,(3:а<р} определена положительная, абсолютно непрерывная, интегрируемая на всей полуплоскости функция А,= А,(а,Р) . Определим на полуплоскости Рао меру Ца « равенством Jp. a,p= ^(a ’P)^a ^P • (1.25) Измеримыми по мере ц а « будут все измеримые по Лебегу множества, в том числе и имеющие бесконечную меру. Мера р а р абсолютно непрерывна относительно двумерной лебеговой меры если выполнено условие |