|
Здесь £(/) и co(a,p,t)выход и переменное состояние преобразователя, аналогичного преобразователю Прейсаха-Гилтая с носителем меры, показанным на рис. 2.1. В качестве меры /л можно выбрать любую абсолютно непрерывную, относительно лебеговой меру. В дальнейших построениях меру ц будем считать тождественно совпадающей с лебеговой, т.е. dfiap = dadfi. Отметим, что это обстоятельство не является ограничительным, т.к. все принципиальные результаты останутся верными и в ином случае. Сформулируем один из основных результатов этого раздела. Теорема 2.1. Пусть выполнено неравенство v<~> тогда система (2.8)-(2.10) имеет по крайней мере один устойчивый цикл. Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов. На первом будет доказано существование инвариантного множества для систем (2.8)-(2.10). На втором будет доказано существование цикла и наконец, его устойчивость. Будут также приведены условия обеспечивающие существования континуума устойчивых циклов (монотонно и непрерывно зависящего от параметра) и их экономическое обоснование. Докажем, сначала одно вспомогательное утверждение. Лемма 2.1. Выход £(0 преобразователя (2.9)-(2.10) удовлетворяет двусторонним оценкам. Доказательство. Отложим значение входа Y{t) на прямой а =/3. Тогда все допустимые состояния отвечающие этому значению будут удовлетворять нера(2.11) (2.12) венству ® « т ( 0 ^ < а (0 * *>тах ( 0 32 |
I l l является преобразователь Прейзаха-Гилтая. Пространство состояний этого преобразователя будет состоять из функций 1; р ~ а > у / { а + р), где функций у/{и) (и>0) липшецевы с коэффициентом равным единице и ограничены на всей области определения. Из априорных соображений ясно, что расстояние между а, и Д каждого конкретного неидеального реле должно быть не слишком большим, следовательно носитель меры континуального аналога должен быть конечен, i Далее, коль скоро под Г понимается не абсолютный доход, а отклонение от стационарного значения, выход преобразователя должен быть симметричен как для положительных, так и для отрицательных значений Y. Из этих соображений следует, что в качестве носителя меры можно выбрать фигуру, состоящую из двух треугольников, показанных на рис. 6.1. Таким образом, приходим к системе •• . 3 Y+sY =^(t)-vY £(0= \co(a,J3,t)dii, (6.8) (6.9) a (6.10) Здесь %(t) и co(a,p,t)выход и переменное состояние преобразователя, аналогичного преобразователю Прейзаха-Гилтая с носителем меры, показанным на рис. 6.1. В качестве меры /л можно выбрать любую, абсолютно непрерывную относительно лебеговой меру. В дальнейших построениях меру /л будем считать тождественно совпадающей с лебеговой, т.е. dnaf} =dadp. Отметим, что это обстоятельство не является ограничительным, т.к. все принципиальные результаты останутся верными и в ином случае. Сформулируем один из основных результатов этого раздела. ► 112 * Рис. 6.1. Теорема 6.1. Пусть выполнено неравенство v<—, тогда система (6 .8 — 2 6 .1 0) имеет по крайней мере одинустойчивый цикл. Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов. На первом будет доказано существование инвариантного множества для систем (6 .8 —6.10). На втором будет доказано существование цикла, и наконец, его устойчивость. Будут также приведены условия, обеспечивающие существования континуума устойчивых циклов (монотонно и непрерывно зависящего от параметра) и их экономическое обоснование. Докажем сначала одно вспомогательное утверждение. Лемма 6.1. Выход £(/) преобразователя (6.9 — 6 .1 0) удовлетворяет двусторонним оценкам. |