|
2.2. Приближенное построение устойчивых циклов. Доказательство теоремы 2.1. На первом шаге докажем существование инвариантного множества для системы (2.8)-(2.10). Рассмотрим векторное поле правой части уравнения (2.8) на эллипсах. У + s Y 2 = р 2 , (2.13) о где р< —. Тогда векторное поле Ф, определяемое первой частью уравнения (2.8) будет иметь вид Ф . Л Y y s Y + % v Y 3j (2.14) Вектор нормали п к эллипсу (2.13) определяется соотношением П Скалярное произведение 0-n =sY-vY (2.15) будет положительным (в силу леммы 2.1) во всех точках эллипса (2.13), за исключением точек лежащих на оси абсцисс. Это означает, что векторное поле, определяется правой частью уравнения (2.8) составляет острый угол с вектором нормали и эллипсу (2.11) при малых р и, следовательно направлено наружу. Отметим, что из сказанного следует, в силу результатов [33], что нулевое состояние равновесия является неустойчивым, т.к. вращение векторного поля на границе эллипса будет равного единице. Рассмотрим векторное поле (2.4) на кривой, показанной на рис. 2.3. Ниже будет доказано, что при соответствующем выборе параметров этой кривой векторное поле v (2.14) будет направлено «внутрь» этой кривой. 34 |
Оценки (6.12) для отрицательных Y устанавливаются аналогично. Лемма 6 .1 . доказана. Из леммы 6.1. следует, что при достаточно малых по абсолютной величине Y правая часть уравнения (6 .8) положительная (отрицательная) при Г> 0 (Г<0 ). 6.2. Доказательство теоремы 6.1 На первом шаге докажем существование инвариантного множества для системы (6 .8 6.10). Рассмотрим векторное поле правой части уравнения (6 .8) на эллипсах. Y +sY2=р1 (6.13) где р< —. Тогда векторное поле Ф, определяемое первой частью уравнения 2 (6 .8) будет иметь вид Ф . N Y к-sY +l -vY3; (6.14) Вектор нормали п к эллипсу (6.13) определяется соотношением sY\ п Y / Скалярное произведение Ф-n=4Y-vY (6.15) будет положительным (в силу леммы 6.1) во всех точках эллипса (6.13), за исключением точек лежащих на оси абсцисс. Это означает, что векторное поле определяется правой частью уравнения (6 .8) составляет острый угол с вектором нормали и эллипсу (6 .1 1) при малых р и, следовательно направлено наружу. Отметим, что из сказанного следует, в 115 силу результатов [34], что нулевое состояние равновесия является неустойчивым, т.к. вращение векторного поля на границе эллипса будет равного единице. Рассмотрим векторное поле (6.4) на кривой, показанной на рис. 6.3. Ниже будет доказано, что при соответствующем выборе параметров этой кривой векторное поле (14) будет направлено «внутрь» этой кривой. В силу нечетности поля (6.14) и в силу симметрии кривой относительно начала координат, достаточно рассмотреть векторное поле на ломанной ▲ Y А А, рис. 6.3 A,A2A3A4AS. На отрезке А,А2, уравнение которого Y =рхВектор нормали Скалярное произведение Ф-п =-sY +£ -vY йагvp\ . (6.16) |