|
, р, (1+ s 2s) а b >s-±^-------+— ss (2.18) Вектор нормали nAlA, имеет вид п а , а2^3 Тогда Ф п а 2а, = £ Y -£ s Y + e £ e u Y (2.19) где Y и Y связаны соотношением (2.17). С учетом этого соотношения получаем Ф п а , а2Л3 Q2 Q2 О2 < р , + £ SsY < р. + ss(b £Pi) = p x(\ + £2s) + £ £Sb . 2 2 2 В силу неравенства (2.18) это выражение отрицательно. Отрезок А3АЛ параллелен оси ординат, вектор нормали к нему имеет вид пл,л 'О v°y _ _ V Скалярное произведение Ф •па,а, = Y < 0 и неравенство превращается в строгое для всех точек, за исключением А3. Наконец рассмотрим отрезок а 4а 5. Вектор нормали к нему п А , л 5 О V Фп s Y g + v Y АаА5 У=~Рг s Y ^ v p Потребуем дополнительно к (2.18), что бы было выполнено неравенство A > i s b + а (2.20) Тогда Ф-пл,л, < 0 . Таким образом, доказано, что векторное поле, определяемое правой частью уравнения (2.8) направлено "внутрь" области изображений на рис. 2.2, во всех точках кривой А]А2...А5 за исключением конечного их числа при условии выполнения неравенств (2.17), (2.20). Так как векторное поле не эллипсе (2.11) 36 |
Потребуем дополнительно к (6.18), чтобы было выполнено неравенство Тогда Ф•ha,as <0 . Таким образом, доказано, что векторное поле, определяемое правой частью уравнения (6 .8) направлено "внутрь" области изображений на рис. 6 .2 , во всех точках кривой А1А2...А5 за исключением конечного их числа при условии выполнения неравенств (6.17), (6.20). Так как векторное поле на эллипсе (6 .1 1) направлено наружу, то построена кольцеобразная область D, инвариантная для уравнения (6 .8). Т.е. всякое решение системы (6 .8 —6.10) • • имеющее начальное значение Y(0) =Y0; Г(0)= Y из области D, где F(0) «согласовано» с начальным состоянием преобразователя (6.9), (6.10), остается в области D при всех t >0. Векторное поле Ф не обращается в 0 ни в одной точке области D, поэтому в этой области, как следует из результатов [34], существует по крайней мере один цикл, т.е. периодическое решение (6 .8 —6 .1 0). Докажем существование по крайней мере одного устойчивого цикла. В области D выберем отрезок без контакта, концы которого лежат на кривых ограничивающих область D. Напомним, что отрезком без контакта называется такой отрезок, вектор нормали к которому составляет острый угол с вектором, определяемым правой частью дифференциального уравнения. В качестве такого можно выбрать отрезок [Ах,В], лежащий на оси ординат. Вектор нормали к нему (6.20) |