|
направлено наружу, то построена кольцеобразная область D инвариантная для начальное W » значение 7(0) = У0; 7(0) = 7 из области D, где 7(0) «согласовано» с начальным состоянием преобразователя (2.9)-(2.10), остается в области D при всех / > 0. Векторное поле Ф не обращается в 0 ни в одной точке области D, поэтому в этой области, как следует из результатов [14 ] существует по крайней мере один цикл, т.е. периодическое решение (2.8)-(2.10). Докажем существование по крайней мере одного устойчивого цикла. В области D выберем отрезок без контакта, концы которого лежат на кривых ограничивающих область D. Напомним, что отрезком без контакта называется такой отрезок, вектор нормали к которому составляет острый угол с вектором, определяемым правой частью дифференциального уравнения. В качестве такого можно выбрать отрезок [4,, 5], лежащий на оси ординат. Вектор нормали к нему (\ \ п vOy и Ф-п = У > 0 . На множестве точек отрезка [АХ,В] введем параметр d , так что точке В соответствует значение параметра d равное нулю, а точке А единица. Рассмотрим изображение (р сопоставляющее каждой 0 точке отрезка АВ точку этого отрезка, в которой решение системы (2.8)-(2.10), отвечающее начальному значению 7(0) = 0; 7(0) = 0 , впервые пересекает отрезок [А,И\. Отметим, что отображение <р вообще говоря является многозначным, т.к. разным состояниям преобразователя (2.9)-(2.10) соответствуют разные решения и, как следствие разные точки отрезка А,В. С учетом параметризации отрезка [Л,,В] отображение ср можно рассматривать на 37 |
Потребуем дополнительно к (6.18), чтобы было выполнено неравенство Тогда Ф•ha,as <0 . Таким образом, доказано, что векторное поле, определяемое правой частью уравнения (6 .8) направлено "внутрь" области изображений на рис. 6 .2 , во всех точках кривой А1А2...А5 за исключением конечного их числа при условии выполнения неравенств (6.17), (6.20). Так как векторное поле на эллипсе (6 .1 1) направлено наружу, то построена кольцеобразная область D, инвариантная для уравнения (6 .8). Т.е. всякое решение системы (6 .8 —6.10) • • имеющее начальное значение Y(0) =Y0; Г(0)= Y из области D, где F(0) «согласовано» с начальным состоянием преобразователя (6.9), (6.10), остается в области D при всех t >0. Векторное поле Ф не обращается в 0 ни в одной точке области D, поэтому в этой области, как следует из результатов [34], существует по крайней мере один цикл, т.е. периодическое решение (6 .8 —6 .1 0). Докажем существование по крайней мере одного устойчивого цикла. В области D выберем отрезок без контакта, концы которого лежат на кривых ограничивающих область D. Напомним, что отрезком без контакта называется такой отрезок, вектор нормали к которому составляет острый угол с вектором, определяемым правой частью дифференциального уравнения. В качестве такого можно выбрать отрезок [Ах,В], лежащий на оси ординат. Вектор нормали к нему (6.20) 118 че*у t o соответствует значение параметра d равное нулю, а точке А единица. Рассмотрим изображение ср сопоставляющее каждой 0 точке отрезка АВ точку этого отрезка, в которой решение системы (6.8)-(6.10), отвечающее На множестве точек отрезка [Л,,5] введем параметр d , так что точке В начальному значению У(0) =0 ; У(0) =0 , впервые пересекает отрезок [А,В]. Отметим, что отображение <р вообще говоря является многозначным, т.к. разным состояниям преобразователя (6 .9 )-(6 .1 0) соответствуют разные решения и, как следствие, разные точки отрезка АхВ . С учетом параметризации отрезка [А,,В] отображение (р можно рассматривать на отрезке [0,1]. Ниже устанавливаются важные для дальнейших построений свойства отображения ср. Лемма 6 .2 . Отображение ц>определено на отрезке [0 ,1], непрерывно и монотонно по параметру d и начальному состоянию coQ(a,fi)u переводит отрезок [0,1 ] в себя. доказательство. Для доказательства того, что отображение <р определено, необходимо установить, что всякое решение, начальное значение которого есть точка отрезка А{В, достигает этого отрезка за конечное время. Введем в рассмотрение угловую функцию решения ^(г). Здесь y/(t) угол, который составляет вектор Y(t,Q,eo0) Y(t,Q,a>0) с осью ординат в момент времени t, где Y(t,®,a>0) решение системы (6 .8 6.10), отвечающее начальным условиям У(0) =0, У(О)=0 , со(0,а,р) =со0(а,/3). Как следует из результатов [34]. Функция у/(О удовлетворяет дифференциальному соотношению dxp _ s Y 2+£У-уУ3У-УУ dt у2+У2 (6.21) |