|
Щ) = 1/(0+ у и „ 4 1 7" + 1 3 0 4 21 2л/2 7 монотонно убывает V-r т ; j Докажем, что при выполнении неравенства 1-^= >О limR(t) = -со 1—>+оо (2.23) В предположении противного существует конечный предел lim R(t) = С 1—>+СО (2.24) В этом случае lim7(0 = О/ —>+со (2.25) I т.к. если бы это было не так, то lim% 2S \Y2{r)dt =-co и равенство (2.24) невоз/—V4-СО JI—>+сО О можно. Если же равенство (2.25) выполняется, то имеет место соотношение limw(t) = я 12 —як /—>+00 Ш при некотором натуральном к. Но тогда, в течении бесконечного времени 7(0 сохраняет знак, т.к. 7(0 квалифицирована отделена от нуля, предельное состояние (2.25) невозможно. Таким образом, предельное соотношение (2.23) доказано. Т.к. 7(0 ограничена, то limy/(t) = -со . /—>+оо Тем самым доказано, в силу непрерывности функции y/(t), что в некоторый конечный момент времени будет выполняться равенство y/(t) = -2 я , означающее, что решение, имеющее своим начальным решением точку отрезка [АХ,В] в конечный момент времени пересечет этот отрезок'. Таким образом, отображение ср определено для любого d е [0;1]. Включение ^>[0;1] е [0;1] и непрерывность отображения ср очевидны. Докажем монотонность. Для этого зафиксируем произвольные точки ©, и 0 2 согласованные с ними минимальные состояния преобразователя со0х(а,р) и &>02(а,/?) (2.9)-(2.10). См. (рис. 2.4). |
при некотором натуральном к. Но тогда, в течение бесконечного времени Y(t) сохраняет знак, т.к. Y(t) квалифицирована отделена от нуля, предельное состояние (6.25) невозможно. Таким образом предельное соотношение (6.23) доказано. Т.к. У(0 ограничена, то limy/(t) =-оо.f—►+<* Тем самым доказано, в силу непрерывности функции y/(t), что в некоторый конечный момент времени будет выполняться равенство t//(t) =-2л, означающее, что решение, имеющее своим начальным решением точку отрезка ^ [AlfB] в конечный момент времени пересечет этот отрезок. Таким образом, отображение <р определено для любого d е [0;1]. Включение ^[0;1] с [0;1] и непрерывность отображения <рочевидны. Докажем монотонность. Для этого зафиксируем произвольные точки 0 , и 0 2 и согласованные с ними минимальные состояния преобразователя со0Х(а,р) и <х>ог(а,Р) (6.9), (6.10) (рис. 6.4). 120 Г Рис. 6.4. |