|
и как следствие Y(t,@2,a)02(a,j3) > 7(/?0 р <уО2(а,/?), что означает невозможность пересечения. ■ В области У>0 выполняется неравенство противоположное (2.26), означающее невозможность пресечения. Монотонность отображения ф доказана. Отметим, что т.к. Y(t) имеет всего лишь два участка монотонности состояния преобразователя a(a,p,t*) = Q[a>0(a,P)]Y(t.,®,co0(a,P) является минит мальным среди всех допустимых при значении Y(t.,®,coQ(a,p) входах. Перейдем к доказательству существования устойчивых циклов. Для этого, в силу непрерывной зависимости решений от начальных условий достаточно установить наличие по крайней мере одной устойчивой неподвижной точки и отображения где t * момент пересечения решения, отвечающему начальному условию Так как образом отображения ф является внутренность отрезка [А,В\, то найдем такие пары {d.a>0(а,/3)} и {dn cot(а ,Р )}, что будут выполняться неравенства Неравенства (2.27), (2.28) понимаются покоординатно. Зафиксируем монотонно убывающую к нулю последовательность чисел {<т„} с первым членом удовлетворяющим неравенству сг, < m i n d_;d+—ф(<1+). U :(d, а>0(а , /3)) {(p{d), о)(а,/3, t, )), {7(0) = 0;7(0) =0, со0(а, /?,0) = а)0(a, J3)} отрезка [А, В] U{d+,со+(а, /?)} < {d+,ю+(а, р ) } . U{d_,co_(a,p)} > {d_,co_(а ,Р )}, (2.27) (2.28) |
Отметим, что т.к. Y(t) имеет всего лишь два участка монотонности состояния преобразователя а>(а,p,t.) =Q[a>0(а,Р)]Y(t.,0 ,со0(а,р) является Ф минимальным среди всех допустимых при значении У(г.,0 ,юо(а,Р) входах. Перейдем к доказательству существования устойчивых циклов. Для этого, в силу непрерывной зависимости решений от начальных условий достаточноустановить наличие по крайней мере одной устойчивой неподвижной точки отображения U:(с/,л)0(а,/?>) -»( (6.28) Неравенства (6.27), (6.28) понимаются покоординатно. Зафиксируем монотонно убывающую к нулю последовательность чисел {сг} с первым членом, удовлетворяющим неравенству сг, Построим вспомогательную последовательность {ek,Tjk{a,p}}, Положив {е0,7о(<*,Р)}={d0>o)0(a,p)}; |