|
где IV, (а, b) Z Нin G,,...n Y(a + u,b + v), mv.Jnrnv..ni ’ ' (2.4) здесь и = т, 4... t m,v = n, + ... + л определяют окрестность вокруг наблюдаемого пикселя, при этом: и ,[j-4dj-2] , ~ Г/-]] [j-2] (2.5) Тогда веивлет-декомпозиция зашумленного изображения с мультипликативной моделью может быть представлена следующим образом: WY =IV[/IY = winxz =W['lX + Wl,iX(Z-\) = Wl,]X + W[,]XZi =щ (2.6) центрированные и некоррелированные случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями: M[WA] = О, Л/[ЩЕ] = О, M[WAW3] = tVl/lfVl,lM[X]M[X]M[Zc] = 0. Пусть вейвлет-коэффициенты имеют некоторую плотность распределения вероятности Лгг (О . Тогда характеристическая функция может быть записана как где »A = ЩГ/1Х, ИТ = Wl,\XZL) У Е„, (s) = I Рц. (t)e"dt = £„ (s)EiV_ (s), (2.7) где £„ (s), EH (s) характеристические функции аддитивных составляющих w х иA S w ~ соответственно. Для удобства анализа соотношения (2.7) необходимо перейти к логарифмическому представлению: 1п£((> (s) = InЕ„ (s) + ln£„ (s) . (2.8) Производные н-го порядка от логарифмического представления характеристической функции вида (2.8) определяют семиинварианты (кумулянты) н-го порядка при v->0. В соответствии с соотношением (2.4), случайная переменная w, (и,Ь) является линейной комбинацией других случайных переменных {Y(a + u,b + vj}in , которые полагаем условно независимыми и имеющими одинаковое распределение. Тогда можно определить связь между семиинвариантами характеристических функций, полученных по вейвлеткоэффициентам и отсчетам наблюдаемого изображения, следующим образом: 100 |
1 1 3 Если применить схему вейвлет-декомпозиции изображения С.Малла I (быстрое вейвлет-преобразование) /58, 157/, где разложение идет по ветви аппроксимации, то можно определить оператор WlJ], формирующий горизонтальные, вертикальные и диагональные коэффициенты на каждом уровне j, j = Поскольку вейвлет-преобразование является результатом последовательных сверток, то Уi i=\ И Wy(a,b) = [Wlilr].b, (2.1.3) где к I здесь к и / определяют окрестность вокруг наблюдаемого пикселя, при этом и * 4 Ч ■ Н к = К \ C ?,=gp-‘V . (2-1.4) Тогда вейвлет-декомпозиция зашумленного изображения может быть представлена следующим образом: Wy =WU]Y =W[nXZ = W[J]X + WU]X(Z -1) = WU]X +WU]XZC=WX +WV (2.1.5) здесь случайные переменные X и Z считаются независимыми, и Wx =W[j]X, W.=W[n(XZc) центрированные и некоррелированные случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями: E[WX]=О, E[WJ =О, E[WXW^] WlJ]Wlj]E[X]E[X]E[Zc]=0. (2.1.6) Таким образом, на уровне вейвлет-преобразования мультипликативная модель (2.1.1) рассматривается как аддитивная вида (2.1.5). Из постановки задачи следует, что требуется выполнить сжатие данных зашумленного изображения (2.1.1), кодируя вейвлет-коэффициенты (2.1.5) таким образом, чтобы ошибка восстановления была минимальной в смысле среднего квадрата евклидовой нормы: -2 6 0 4.2. Текстурная обработка на стадии вейвлет-преобразования. 4.2.1. Поведение вейвлет-коэффициентов при действии шума. Методы и алгоритмы, изложенные выше, предусматривают две стадии процесса обработки. На первой стадии надо дважды «просмотреть» изображение для поиска однородных и разнородных текстур. Собственно вейвлет-преобразование и пороговая обработка вейвлет-коэффициентов происходит на втором этапе. В связи с этим возникает идея перенести операции анализа точек изображения по (1.23) непосредственно на стадию вейвлетпреобразования. В гл.1 был определен оператор W,J] (1.1.22), формирующий горизонтальные, вертикальные и диагональные вейвлет-коэффициенты на каждом уровне j для быстрого вейвлет-преобразования (схема Малла). Тогда вейвлет-декомпозиция зашумленного изображения с мультипликативной моделью вида (1.1.1) может быть представлена следующим образом: где Wx = WIjlX, WE = Wlj1(XZc) центрированные и некоррелированные случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями: Пусть вейвлет-коэффициенты имеют некоторую плотность распределения вероятности Pw (t). Тогда с учетом (4.2.1) характеристическая функция записывается как/51/ Wy =W[j]Y = Wlj]XZ = WU]X + W[j]X(Z -1) =w[J]x +w[nxzc=wx+wE, (4.2.1) M[WX] = 0, M[WZ] = 0, M[!VXWB]=WinW[nM{X]M{X]M[Zc]=0. (4.2.2) —00 -261 где ^w x С5)? (л) характеристические функции аддитивных составляющих Wx и WB соответственно. Для удобства анализа соотношения (4.2.2) необходимо перейти к логарифмическому представлению: In Ew (s) In EWv (s) + In Ew (5). (4.2.3) Производные n-го порядка от логарифмического представления характеристической функции вида (3.3) определяют семиинварианты (кумулянты) я-го порядка при s —»0. В соответствии с соотношением (1.1.24), случайная переменная WY(a,b) является линейной комбинацией других случайных переменных {Y(a +u,b + v)}uv, которые полагаются условно независимыми и равномерно распределенными. Тогда связь между т семивариантами характеристических функций, полученных по вейвлеткоэффициентам и отсчетам наблюдаемого изображения, определяется следующим образом: In EWv(5) InEy(H G s), откуда Ь 1п % (°) т^.тf f В рассмотрение вводится величина: (4.2.4) Г Z ( & r i W " ч2у-1 Vк I -для wfj и Wlj, / TtekY 2 ( 7 1 ) к d \ 1 -для Щ (4.2..5) Тогда с учетом того, что семиинвариант второго порядка является дисперсией: |