1.1.2. Обоснование выбора вейвлет-преобразования Вейвлеты стали необходимым математическим инструментом во многих исследованиях. Их используют в тех случаях, когда результат анализа некоторого сигнала должен содержать не только простое перечисление его характерных частот (масштабов), но и сведения об определенных локальных координатах, при которых эти частоты проявляют себя. Таким образом, анализ и обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) сигналов разных типов представляют собой основное поле применений вейвлет-анализа. Общий принцип построения базиса вейвлет-преобразования состоит в использовании масштабного преобразования и смещений. Любой из наиболее часто применяемых вейвлетов порождает полную ортонормированную систему функций с конечным носителем, построенную с использованием масштабного преобразования и сдвигов. Именно за счет изменения масштабов вейвлеты способны выявить различные характеристики на разных шкалах, а путем сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем изучаемом интервале. В силу свойства полноты этой системы возможно сделать обратное преобразование. При анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлеты получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) исследуемого сигнала, поскольку используемая при этом система функций (синусы, косинусы или комплексные экспоненты) определена на бесконечном интервале. В основной своей массе работы, касающиеся практического использования вейвлет-преобразования, содержат результаты расчетов, в которых применяются дискретные вейвлеты. Такое предпочтение, отдаваемое дискретным вейвлетам, связано с тем, что используемые базисы на основе непрерывных вейвлетов не являются строго ортонормированными, поскольку элементы базиса бесконечно дифференцируемы и экспоненциально спадают на бесконечности, что противоречит строгой ортонормируемости. Дискретные вейвлеты не обладают таким свойством. Поэтому дискретные вейвлеты приводят к более точному 16 |
2. Размытие {blurriness) результат применения вейвлет-преобразования, когда появляются засветки отдельных участков изображения, размытые контуры объектов, увеличивается ширина линий и т.п. /64, 184, 208/. 3. Подчеркивание {ringing) —результат применения фильтров с импульсной характеристикой, имеющей резкие изменения (перепады) /37, 184, 208/. В работе применяются объективные критерии СКО и ПОСШ, которые, как было сказано выше, являются наиболее подходящими и используемыми для решения всех аспектов поставленной задачи. В ряде случаев, результаты статистического моделирования содержат также некоторые количественные оценки (1.1.5-1.1.12). 1.1.2. Обоснование выбора вейвлет-преобразования. Вейвлеты стали необходимым математическим инструментом во многих исследованиях. Их используют в тех случаях, когда результат анализа некоторого сигнала должен содержать не только простое перечисление его характерных частот (масштабов), но и сведения об определенных локальных координатах, при которых эти частоты проявляют себя. Таким образом, анализ и обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) I сигналов разных типов представляют собой основное поле применений вейвлет-анализа. Общий принцип построения базиса вейвлет-преобразования состоит в использовании масштабного преобразования и смещений. Любой из наиболее часто применяемых вейвлетов порождает полную ортонормированную систему функций с конечным носителем, построенную с использованием масштабного преобразования и сдвигов. Именно за счет изменения масштабов вейвлеты способны выявить различные характеристики на разных шкалах, а путем сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем изучаемом интервале. В силу свойства полноты этой системы возможно сделать обратное преобразование. При анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлеты получают существенное 18Щ преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) исследуемого сигнала, поскольку используемая при этом система функций (синусы, косинусы или комплексные экспоненты) определена на бесконечном интервале. В основной своей массе работы, касающиеся практического использования вейвлет-преобразования, содержат результаты расчетов, в которых применяются дискретные вейвлеты. Такое предпочтение, отдаваемое дискретным вейвлетам, связано с тем, что используемые базисы на основе непрерывных вейвлетов не являются строго ортонормированными, поскольку элементы базиса бесконечно дифференцируемы и экспоненциально спадают на бесконечности, что противоречит строгой ортонормируемости. Дискретные вейвлеты не обладают таким свойством. Поэтому дискретные вейвлеты приводят к более точному преобразованию и представлению сигнала и, в особенности, к его обратному восстановлению после процедуры сжатия. Таким образом, для теории и практики сжатия и передачи информации дискретные вейвлеты обеспечивают эффективные результаты при анализе сигналов /44/. Дискретные вейвлеты характеризуются набором численных коэффициентов в некоторых функциональных уравнениях, содержащих изменение масштаба и сдвиг аргументов. Более того, в практических вычислениях конкретная форма вейвлетов не выписывается, а используются только величины этих коэффициентов функциональных уравнений. Вейвлетбазис задается с помощью итерационного алгоритма с изменением масштаба и сдвигом единственной функции. Это приводит к процедуре многомасштабного анализа, на основе которого в свою очередь выполняют относительно быстрые численные расчеты локальных характеристик на разных масштабах. Каждый уровень содержит независимую неперекрывающуюся информацию о сигнале в виде вейвлет-коэффициентов, которые вычисляются с помощью итерационной процедуры, известной под названием быстрого вейвлет преобразования (БВП). 19 |