|
1.1.3. Математические основы вейвлет-преобразования Эффективность применения вейвлет-преобразования для решения указанных задач объясняется возможностью проведения так называемого кратномасштабного анализа кодирование из теории обработки сигналов, квадратурную зеркальную фильтрацию из теории распознавания речи и пирамидальную обработку изображений. Пусть пространство Гильберта L2(W) определено скалярным произведением двух любых функций вида: Кратномасштабный анализ с Q уровнями для сигнала f с конечной энергией формирует проекции этого сигнала f на некоторый базис [32, 34, 36, 41, 46, 49, 125, 68, 106]: Базисные функции вида п}к> (р k(x) = d2 J(р(2 'х-к) происходят от временных и пространственных изменений одной и той же масштабирующей функции ф(хЛ для которой выполняется условие /Ф(х)4х = 1 Семейство функций вида к} проецирует пространство Vj в пространство Гильберта (Д ), а проекция сигнала f на Vj дает аппроксимацию вида = (f Аналогичным образом, базисные функции вида у/,к(х) = 4т^щ(2 ’х-к) являются результатом временных и пространственных изменении одной и той же функции у(х), для которой также справедливо 0 и которая называется вейвлетом (wavelet). Семейство функций j■>< проецирует подпространство Wj в пространство L2 ГЛ Г Проекция сигнала f на подпространство Wj дает вейвлеткоэффициенты Для сигнала f (wavelet coefficients), представляя так называемые «детали» сигнала (details) между двумя его последовательными аппроксимациями (approximation). В теории вейвлет-кодирования «детали» сигнала f представляют собой высокочастотные (ВЧ) составляющие (ВЧ 19 |
2. Вейвлет-преобразование успешно применяется для фильтрации J зашумленных сигналов (изображений). 3. Методы и алгоритмы сжатия данных изображений многих классов, построенные на основе вейвлет-преобразования, превосходят их аналоги как по степени потерь качества, так и по скорости вычисления. О перспективности вейвлет-преобразования говорит также факт его включения в стандарт JPEG2000, MPEG4. 4. Как фильтрация, так и сжатие данных на основе вейвлетпреобразования используют пороговое отсечение вейвлет-коэффициентов. 1.1.3. Математические основы вейвлет-преобразования. Эффективность применения вейвлет-преобразования для решения указанных задач объясняется возможностью проведения так называемого кратномасштабного анализа изображений (multiresolution analysis), который объединяет субполосное кодирование из теории обработки сигналов, квадратурную зеркальную фильтрацию из теории распознавания речи и 2 пирамидальную обработку изображений. Пусть пространство Гильберта L (9?) определено скалярным произведением двух любых функций вида: -21 Кратномасштабный анализ с Q уровнями для сигнала / с конечной энергией формирует проекции этого сигнала / на некоторый базис /41, 43, 45, 58, 63, 66, 84, 105, 149/: Базисные функции вида ф,к(х) =л/2 •/ф(2 Jх —к) происходят от временных и пространственных изменений одной и той же масштабирующей функции §(х), для которой выполняется условие [ф(х)<£т= 1. Семейство 2 2 функций вида {ф/frL 7 проецирует пространство V/ в пространство Гильберта#v Z2(SR), а проекция сигнала/ на V} дает аппроксимацию вида( / Л к /)к 7 сигнала/ на шкале 2/. Аналогичным образом, базисные функции вида = V2~>(2 ' х к ) являются результатом временных и пространственных изменений одной и той же функции \ц(лг), для которой также справедливо jv/(x)c£c = 0 и которая называется вейвлетом {wavelet). Семейство функций {у ;Л/, проецирует подпространство Wj в пространство 1?{Ж). Проекция сигнала / на подпространство W> дает вейвлет-коэффициенты к \ f ^ j , k j ) Для сигнала / {wavelet coefficients), представляя так называемые «детали» сигнала (details) между двумя его последовательными аппроксимациями {approximation). В теории вейвлет-кодирования «детали» сигнала / представляют собой высокочастотные (ВЧ) составляющие (ВЧ субполосы), а аппроксимации низкочастотные (НЧ) компоненты (НЧ ♦ субполосы) сигнала f Следовательно, подпространство Wj+\ является дополнением подпространства V,+i до V), что записывается следующим образом: Vj = vJ+l® WJ+1. (1.1.15) Подпространства V} определяют кратномасштабный анализ и обладают i следующими свойствами /43, 58, 149/: I T . V / C . Z : 2. f ( x ) e V JtlC i> f( 2 x ) e V j; 3. / ( x ) e K . o / ( 2 ' x * ) e F 0, V * e Z . 4. Vj является плотностью в L2(iR) и (Ц=сVj —О |