|
Алгоритм пирамидального преобразования (или кодирования) сигнала, описанный выше, не гарантирует инвариантность к его изменениям. Иными словами, некоторые изменения сигнала (например, небольшой сдвиг по временной оси, искажения фронта нарастания или спада сигнала и.т.п.) не всегда подразумевают изменения соответствующих вейвлет-коэффицентов. С другой стороны, вейвлет-коэффициенты, соответствующие разрывам сигнала, могут отсутствовать. Такая нерегулярность в вейвлетном представлении является прямым следствием операции прореживания, которая производится после каждой фильтрации. Чтобы вернуть свойство инвариантности к любым изменениям, вводится концепция стационарного вейвлет-преобразования [35, 109], согласно которой 2!~1 нулей вставляются между коэффициентами низкочастотного и высокочастотного фильтров на текущем уровне преобразования у. Благодаря этому, полоса пропускания уменьшается ровно в два раза при переходе от одного уровня к другому: А'" = А, к 2' т, если т е Z,, 0, в противном случае. St h! Si к =■ 27 т, если т е Z,г < 0. в противном случае. Поскольку подлежащий разложению сигнал (изображение) является последовательностью чисел (отсчетов), то описанная выше схема относится к дискретному вейвлет-преобразованию (ДВП). В одномерном случае данный метод ДВП, называемый также алгоритмом Малла [41] или быстрым вейвлет-преобразованием (ВВП), представляется как вейвлет-преобразование сигнала S, при котором разложение идет только по ветви аппроксимации А. Упрощенная схема одномерного ВВП показана на рис. 1.3. 22 |
2 4 I (1.1.19) Таким образом, чтобы получить аппроксимацию сигнала (коэффициенты aJk) на шкале 2/, то есть наиболее важную информативную часть, необходимо последовательно осуществить несколько раз низкочастотную фильтрацию и децимацию (прореживание выборок на выходе НЧ-фильтра). Менее важная, уточняющая или детализирующая информация (то есть «детали», называемая схема Малла (Mallat)) /41, 58/. Выражение для восстановления сигнала через фильтры «синтеза» с Существует несколько вариантов реализации вейвлет-преобразования /4, 79, 84, 137, 170/. В случае ортогонального вейвлет-преобразования подпространство WJ+l является ортогональным дополнением V/+i до Vj. Квадратурные зеркальные фильтры {quadrature mirror filter) удовлетворяют всем условиям ортогональности, если выбрать коэффициенты фильтра как g n —(~ iyh _n + в случае биортогонального вейвлет-преобразования строят симметричные фильтры, коэффициенты которых удовлетворяют условиям: Алгоритм пирамидального преобразования (или кодирования) сигнала, описанный выше, не гарантирует инвариантность к его изменениям. Иными коэффициенты djk ) на шкале 2/ получается путем высокочастотной фильтрации аппроксимации сигнала f вычисленной на шкале 2!' (так выводится непосредственно из соотношения (1.1.20) 2 5 словами, некоторые изменения сигнала (например, небольшой сдвиг по временной оси, искажения фронта нарастания или спада сигнала и.т.п.) не всегда подразумевают изменения соответствующих вейвлет-коэффицентов. С другой стороны, вейвлет-коэффициенты, соответствующие разрывам сигнала, могут отсутствовать. Такая нерегулярность в вейвлетном представлении является прямым следствием операций прореживания, которая производится после каждой фильтрации. Чтобы вернуть свойство инвариантности к любым изменениям, вводится концепция стационарного вейвлет-преобразования /44, * 1 152/, согласно которой 2/' нулей вставляются между коэффициентами низкочастотного и высокочастотного фильтров на текущем уровне преобразования j. Благодаря этому, полоса пропускания уменьшается ровно в два раза при переходе от одного уровня к другому: Поскольку подлежащий разложению сигнал (изображение) является последовательностью чисел (отсчетов), то описанная выше схема относится к дискретному вейвлет-преобразованию (ДВП). В одномерном случае данный метод ДВП, называемый также иерархическим алгоритмом Малла /58/ или быстрым вейвлет-преобразованием (БВП), представляется как вейвлетпреобразование сигнала S, при котором разложение идет только по ветви аппроксимации А. Упрощенная схема одномерного БВП показана на рис. 1.1.3. В двумерном случае данный метод ДВП, называемый также иерархическим алгоритмом Малла /58/ или быстрым вейвлет-преобразованием (БВП), представляется как вейвлет-преобразование по горизонтали, вертикали и диагонали двумерного массива точек изображения. Чтобы получить декомпозицию изображения при заданном числе уровней в случае сепарабельных (разделимых) вейвлет-базисов, используют одномерный банк IК/г ’ k = 2Jт, если m e .Z , О, в противном случае. i g kl2, к = 2Jт, если m e Z , О, в противном случае. |