|
регулярность связана с числом обращающихся в нуль моментов, биортогональные вейвлеты обладают большей свободой выбора. Если один из них обладает гладкостью порядка а, то дуальный ему вейвлет автоматически имеет, по крайней мере, а нулевых моментов. Если у к оказывается намного более регулярной функцией, то у//к имеет намного больше нулевых моментов, чем у)к . Это позволяет выбрать, например, к в виде очень гладкой функции и иметь у/к с большим числом нулевых моментов. Большое число нулевых моментов у приводит к лучшим результатам при сжатии информации для достаточно гладкой функции f После сжатия число значимых вейвлет-коэффициентов становится намного меньше, а лучшая гладкость у к помогает восстановить f с более высокой точностью. Биортогональные базисы близки к ортонормальному базису. Оба вейвлета можно сделать симметричными. Симметричные биортогональные вейвлеты, близкие к ортонормальному базису, похожи на куафлеты. Построение биортогональных вейвлет-базисов обычно оказывается более простым, чем соответствующая процедура для ортонормальных базисов. При отказе от свойства ортонормальности удается сконструировать неортогональные вейвлеты, которые называются фреймами [41, 170]. Важный особый класс фреймов представлен базисами Рисса в L2CR)Базис Рисса является фреймом, но обратное утверждение неверно. Фреймы удовлетворяют следующему требованию: Постоянные А и В называются границами фрейма. При А=В говорят о жестких фреймах. Случай А=В=\ соответствует ортонормальным вейвлетам. При воздействии сингулярного оператора зачастую получаются бесконечные выражения, если использовать обычные вейвлеты. В этих случаях можно подобрать некую сглаживающую функцию Ь(х), чтобы наложить дополнительные условия, которые будут необходимы и достаточны для того, чтобы результат воздействия (сингулярного интегрального) оператора оказался непрерывным на 29 |
3 2 . где вейвлет \\i и дуальный ему вейвлет vj/ .к удовлетворяют требованию которых регулярность связана с числом обращающихся в нуль моментов, биортогональные вейвлеты обладают большей свободой выбора. Если один из них обладает гладкостью порядка а, то дуальный ему вейвлет автоматически имеет, по крайней мере, а нулевых моментов. Если \}7 л оказывается намногоJ ^ более регулярной функцией, то \/,к имеет намного больше нулевых моментов,J ^ чем к. Это позволяет выбрать, например, vj/.к в виде очень гладкой функции и иметь vj; . с большим числом нулевых моментов. Большое число нулевых моментов у v/ . приводит к лучшим результатам при сжатии информации для достаточно гладкой функции f После сжатия число значимых вейвлеткоэффициентов становится намного меньше, а лучшая гладкость vj/ к помогает I восстановить / с более высокой точностью. Биортогональные базисы близки к ортонормальному базису. Оба вейвлета можно сделать симметричными. Симметричные биортогональные вейвлеты, близкие к ортонормальному базису, похожи на куафлеты. Построение биортогональных вейвлет-базисов обычно оказывается более простым, чем соответствующая процедура для ортонормальных базисов. При отказе от свойства ортонормальности удается сконструировать неортогональные вейвлеты, которые называются фреймами /58, 117/. Важный особый класс фреймов представлен базисами Рисса в L2(91). Базис Рисса является фреймом, но обратное утверждение неверно. Фреймы удовлетворяют следующему требованию: /6j Постоянные А и В называются границами фрейма. При А—В говорят о жестких фреймах. Случай А=В=1 соответствует ортонормальным вейвлетам. биортогональности отличие от вейвлетов Добеши, у При воздействии сингулярного оператора зачастую получаются бесконечные выражения, если использовать обычные вейвлеты. В этих случаях можно подобрать некую сглаживающую функцию Ь(х), чтобы наложить дополнительные условия, которые будут необходимы и достаточны для того, чтобы результат воздействия (сингулярного интегрального) оператора оказался непрерывным на пространстве L . В этом случае выбирают т.н. вейвлеты, подогнанные под Ь. Любая функция/снова разлагается по формуле /44/: -33 х но вейвлет-коэффициенты вычисляются теперь следующим образом: ах = /(х)/(лг)\/(/ (x)dx. Они удовлетворяют условию нормировки />(х)/Сг>[/(/ (х>/(/ (x)dx =8ХХ.. Условие на знакопеременность выглядит при этом так: = 0 . Как видно, осцилляции вейвлета также подогнаны под функцию Ъ (вообще говоря, под «комплексную меру» b{x)dx). Рассмотренные выше вейвлеты с масштабным множителем, равным 2, удобны для численных расчетов. Однако доказано /58, 84, 204/, что в рамках многомасштабного анализа этот множитель должен быть рациональным числом и никаких других требований не налагается. Поэтому можно построить л * схемы с другими целыми или дробными масштабными множителями. Иногда их использование может привести к лучшей локализации по частоте. Для вейвлетов с масштабным множителем 2 их Фурье-образ сосредоточен в основном в пределах одной октавы, тогда как вейвлет-базисы с дробными множителями могут иметь ширину полосы пропускания более узкую, чем октава. Из вышесказанного следует, что выбор типа вейвлета является многоплановой процедурой, где необходимо учитывать все аспекты V |