|
0 0 ... 0 а а 0 ... 0 0 А = 0 а ... 0 0 « * » • 4 « • » 0 4 * • в 4 * 4 4 » 0 0 ... а 0 (2.2.7) Именно такой вид матрицы мы будем сейчас использовать в модели (2.2.6), поскольку такая матрица А имеет ненулевые поддиагональные элементы и ненулевой элемент aim> 0. Заменой переменных at = т добьемся того, что а ~ 1. d l d2 d3 Рис. 2.2.1. Граф циклической трехкомпартментной системы, обеспечивающей возникновение периодических и апериодических микродвижений конечности человека: хьХ2,хз величины активности компартментов; у интегральная выходная активность всей системы регуляции; 61,62,63 уровень внешних воздействий; сьсг.сз • весовые коэффициенты вкладов компартментов в активность у; pi(y), рг(у), рз(у) ~ уровни управляющих тормозных воздействий. Периодическое решение невозможно [50, 51] в компартментных моделях биомеханических систем, если имеется только один или два компартмента. Поэтому мы рассмотриваем именно НМС с m = 3. 92 |
dl d2 d3 ■> Рис. 3.1. Граф циклической трехкомпартментной системы, обеспечивающей возникновение периодических и апериодических микродвижений конечности человека: х,,х2,хз величины активности компартментов; у интегральная выходная активность всей системы регуляции; di,d2,d3 уровень внешних воздействий; С[,с2,сз весовые коэффициенты вкладов компартментов в активность у; р 1(у), р2(у), рз(у) — уровни управляющих тормозных воздействий. 68 b31 ' Таким образом, если да/ди(ит ш ) Ф0 (да/ди(ит ах) Ф0), то по теореме Хопфа существует непрерывная функция «(s), определенная при достаточно малых значениях е так, что н(0 ) um in (м(0 ) = ит ах) и такая, что при малых е (е Ф 0 ) существует периодическое решение системы (3.6). Пусть [3(um in) = со (Р(итодг) = со). Тогда частота колебаний в системе, моделирующей динамику НМС, равна © + о(б). Для нашего случая периодическое решение существует и с точностью до о(е) имеет вид: z{t,£) = Zq+ s(COS7T/ 3) t_1 COS(COT-7r(k -1 )/3 )J ., +о{б). (3-16) В соответствии с теоремой 1.4.2 (ii) (см. [45]) периодическое решение невозможно в компартментных моделях биомеханических систем, если имеется только один или два компартмента. Поэтому мы рассмотриваем именно НМС с m 3. Для них также рассчитывалась первая Ляпуновская величина, которая имеет вид: — I j =-17/7l 2g 2V3/(81648è4) при т =3. 2 к Это свидетельствует о возможном существовании устойчивых колебаний (например, около 10 Гц, как мы получали экспериментально) в генераторной структуре НМС. В целом, настоящие теоретические исследования доказывают существование устойчивых периодических колебаний в НМС. При этом представляет особый интерес количественное сравнение динамики поведения 1 (Ы -АУ' = Ъ 1 b b b2 1 1 b b2 73 |