|
пр(?Т Т 5 5<Еф^ о) п р ® Т Т Ъ (3.27) Из сравнения вьфажений (3.17) и (3.27) следует, что ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая. Завершив рассмотрение механизмов выбора нагрузок к неттоставкам, рассмотрим механизмы выбора страхового тарифа, основывающиеся на сообщениях страхователей страховщику о неизвестных ему параметрах. Механизмы определения страхового тарифа. Центру неизвестны {рі}. Будем считать, что все страхователи одинаково относятся к риску (ф = ф и характеризуются одинаковыми величинами потерь (2 при наступлении страхового случая. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение страхового тарифа на основании сообщений страхователей Яі є [ сІр; Ор], і є І, (б = (ві, 82, •••>зЛ е [ г1р; Ор]п) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования жо = п(б), где процедура л(-) определяется в результате следующей задачи: решения П ЕФ(тг0,5) = — = > ( щ ) -> шах 1 + 9 П ¿— і тго^О иІ=7П(Я0,5) (3.28) т (п0, 5) = тіп{ і є і (1 + > п0]. (3.29) Подставляя (28)-(29) в целевую функцию страхователя, получаем: п° п ^ м (3.30) С, тг0 < (1 + О * Е/і(п0)б) = д ] 1 + ( ' Л е ї . Рі(>, Щ > (1 + Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхо вателя следует, что имеет место аналог ГРО Зі < Р і Л е ї . (3.31) Из анализа выражения (3.31) следует, что одним из равновесий Нэша я 136 |
64 sn) ∈ [dp; Dp]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (1) EΦ(ξ0, s) = ξ ξ +1 0Q (n – m(ξ0, s) + 1) → 00≥ξ max , (2) m(ξ0, s) = min {i ∈ I ξ si ≥ ξ0}. Подставляя (1)-(2) в целевую функцию страхователя, получаем: (3) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + + ii i i s,Qp s,Q s ξξ ξξ ξ ξ 0 0 0 1 , i ∈ I. Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог гипотезы реальных оценок (ГРО): (4) si ≤ pi, i ∈ I. Из анализа выражения (3) следует, что одним из равновесий Нэша1 s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (5) * is = dp, i ∈ I. Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (5) ожидаемая полезность страховщика равна2 1 Равновесие Нэша (5) не является единственным. В частности, равновесными являются, например, следующие сообщения: страхователи, у которых значения pi ξi меньше нагрузки, сообщают достоверную информацию, а страхователи, у которых pi ξi больше нагрузки, сообщают оценки, совпадающие с нагрузкой, которая определяется как решение задачи (1)-(2) с s = ξ p. Тем не менее, если страховщик рассчитывает на гарантированный результат, то, вычисляя минимум по множеству равновесий Нэша игры страхователей, он получит именно (5). 2 Оценка (6) и подробные ей (см. ниже) могут быть получены применением страховщиком принципа максимального гарантированного результата. 66 Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что ему выгодно завышение оценок. В то же время, при наступлении страхового случая в результате деятельности аварийного комиссариата величина потерь, как правило идентифицируется достаточно точно, то есть имеет место аналог ГРО: (10) si ≤ Qi, i ∈ I. Следовательно, с одной стороны страхователи стремятся завышать оценки, а с другой стороны – эти оценки ограничены сверху истинным значением потерь, то есть оптимальной стратегией каждого страхователя является сообщение достоверной информации. Если отказаться от условия (10), то получим, что механизм определения страховых нагрузок на основании сообщений о потерях манипулируем. Центру неизвестны {ξi}. Для простоты будем считать, что все страхователи характеризуются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхового случая и одинаковыми вероятностями наступления страхового случая p. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dξ; Dξ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dξ; Dξ]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (11) EΦ(ξ0, s) = ξ0 Q ∑ = + n )(mi is0 1 1 ξ → 00≥ξ max , (12) m(ξ0, s) = min {i ∈ I p si ≥ ξ0}. Подставляя (11)-(12) в целевую функцию страхователя, получаем: (13) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + +−+ ii i i iiiii ps,Qp ps,Q s sppp 0 0 0 1 ξ ξ ξξ , i ∈ I. Из анализа выражения (13) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (14) * is = dξ, i ∈ I. 67 Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (14) ожидаемая полезность страховщика равна (15) δξEΦ(ξ0) = p Q ∑ ∈ +Ii i i ξ ξ 1 . Легко видеть, что ожидаемая полезность страховщика неотрицательна, независимо от априорной неопределенности, причем справедлива оценка: (16) n p Q d d +1 ≤ δξEΦ(ξ0) ≤ n p Q D D +1 . В предельном случае (при Dξ = dξ, то есть при отсутствии неопределенности и одинаковых страхователях) (16) переходит в выражение (10) раздела 2.1. Из сравнения выражений (6) и (16) следует, что ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая. Завершив рассмотрение механизмов выбора нагрузок к неттоставкам, рассмотрим механизмы выбора страхового тарифа, основывающиеся на сообщениях страхователей страховщику о неизвестных ему параметрах. Механизмы определения страхового тарифа. Центру неизвестны {pi}. Для простоты будем считать, что все страхователи одинаково относятся к риску (ξi = ξ) и характеризуются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхового случая. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение страхового тарифа на основании сообщений страхователей si ∈ [dp; Dp], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dp; Dp]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования π0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: |