|
является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть Sj —dp , i € I . (3.32) Таким образом, механизм определения страхового тарифа оказывается манипулируемым. При сообщениях (3.32) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (3.17), следовательно, оценка (3.18) остается достаточной для «неразорения» страховщика и в случае механизма назначения страхового тарифа. Таким образом, потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Центру неизвестны {0,1}. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей {£•} и вероятности {р1} наступления страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение (1 +£•)#. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей £ [<7д/ £)е], / £ I, (Б = (Э!; Б2, ..., 5П) £ [¿/д/ Од]”) ОВвЛИЧИНаХ ПОТврЬ, ТО есть центр использует механизм планирования = к($), где процедура к( ) определяется в результате решения следующей задачи П ГСоО) = max > — L— [pk(1 + (k) pt] (3.33) keI + -i.1 + &i=k Подставляя (3.33) в целевую функцию страхователя, получаем: ¿) = д р & + 5*[р* 16 7(334'> Как и в задаче выбора нагрузки к нетто-ставке, если истинный размер оптимальной страхователя является сообщение достоверной информации. Если отказаться предположения, то получим 137 |
65 (6) δpEΦ(ξ0) = n dp Q ξ+1 Q ∑ ∈Ii ip . Величина (6) может рассматриваться как оценка «потерь» в эффективности страхования, вызванных наличием неопределенности – неполной информированности страховщика о параметрах страхователей (вероятностях наступления страхового случая). Легко видеть, что для того, чтобы ожидаемая полезность страховщика была неотрицательна достаточно выполнения следующего соотношения (7) ξ ≥ (Dp – dp) / dp, а правая часть (7) может интерпретироваться как «относительная» неопределенность. Содержательно неравенство (7) означает, что несклонность страхователей к риску должна компенсировать неполноту информации страховщика. В предельном случае (при Dp = dp, то есть при отсутствии неопределенности и одинаковых страхователях) (7) переходит в следующее условие взаимовыгодности страхования: ξ ≥ 0, которое неоднократно обсуждалось выше. Центру неизвестны {Qi}. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей {ξi} и вероятности {pi} наступления страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение ξi pi. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dQ; DQ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dQ; DQ]n ) о величинах потерь, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (8) ξ0(s) = ξk pk, k = Ik max ∈ {ξk pk ∑ = n ki i is ξ+1 }. Подставляя (8) в целевую функцию страхователя, получаем: (9) Efi(ξ0, s) = g – pi Qi + si i ii )s(p ξ ξξ + − 1 0 , i ∈ I. 68 (17) EΦ(π0, s) = ξ+1 Q ∑ = − n )s,(mi i )s( 0 0 π π → 00≥π max , (18) m(π0, s) = min {i ∈ I (1 + ξ) si ≥ π0}. Подставляя (17)-(18) в целевую функцию страхователя, получаем: (19) Efi(π0, s) = g +> +≤ + ii i s)(,Qp s)(,Q ξπ ξπ ξ π 1 1 1 0 0 0 , i ∈ I. Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог ГРО: (20) si ≤ pi, i ∈ I. Из анализа выражения (19) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (ср. с (5)) (21) * is = dp, i ∈ I. Таким образом, механизм определения страхового тарифа оказывается манипулируемым. При сообщениях (21) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (6), следовательно оценка (7) остается достаточной для «неразорения» страховщика и в случае механизма назначения страхового тарифа. Таким образом, потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Центру неизвестны {Qi}. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей {ξi} и вероятности {pi} наступления страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение (1 + ξi) pi. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dQ; DQ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dQ; DQ]n ) о величинах потерь, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: 69 (22) π0(s) = Ik max ∈ ∑ = n ki i is ξ+1 [pk (1 +ξk) – pi]. Подставляя (22) в целевую функцию страхователя, получаем: (23) Efi(π0, s) = g – pi Qi + si [pi iξ π +1 0 ], i ∈ I. Как и в задаче выбора нагрузки к нетто-ставке, если истинный размер ущерба становится известным апостериори, то оптимальной стратегией каждого страхователя является сообщение достоверной информации. Если отказаться от этого предположения, то получим, что механизм определения страхового тарифа на основании сообщений о потерях манипулируем. Центру неизвестны {ξi}. Для простоты будем считать, что все страхователи характеризуются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхового случая и одинаковыми вероятностями наступления страхового случая p. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dξ; Dξ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dξ; Dξ]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования π0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (24) EΦ(π0, s) = Q ∑ = + −n )s,(mi i i s p 0 1 0 ξ π → 00 ≥π max , (25) m(π0, s) = min {i ∈ I p si ≥ ξ0}. Подставляя (24)-(25) в целевую функцию страхователя, получаем: (26) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + −− ii i i iii ps,Qp ps,Q s )s(p 0 0 0 1 ξ ξ ξπ , i ∈ I. Из анализа выражения (26) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (ср. с (14): (27) * is = dξ, i ∈ I. |