|
тарифа на основании сообщений о потерях манипулируем. Центру неизвестны {^¡}. Будем считать, что все страхователи характеризуются одинаковыми величинами потерь () при наступлении страхового случая и одинаковыми вероятностями наступления страхового случаяр. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей 5, є Б^], і є І, (б = (Э], б2, а,-) є \й£ Т>^п) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования щ = 7і(з), где процедура л(-) определяется в результате решения следующей задачи: 71 Еф(п0,8) = (} V п? Рі -> шах £шші 1 + ^ ПО>0 і=т(па,8) (3.35) т(п0, б) = тіп{ і є І > £0}. (3.36) Подставляя (3.35)-(3.36) в целевую функцию страхователя, получаем: Щ ~ Уі^ і ~ *і) (3.37) Е Ш о ^ ) = д ■{ 1 + ™ ~ рБі, і є І . Рі(1, & > Рбі Из анализа выражения (3.37) следует, что одним из равновесий Нэша я является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть: = (1%,І ЄІ . (3.38) образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказы вается манипулируемым При сообщениях О случае задачи назначения нагрузки нетто ставке, эта полезность неотрицательна, независимо от априорной неопределенности, и для нее справедлива оценка (3.27) и сделанный выше вывод о влиянии неопределенности. Взаимное страхование Рассмотрим объединение из п страхователей (которое в моделях вза138 |
64 sn) ∈ [dp; Dp]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (1) EΦ(ξ0, s) = ξ ξ +1 0Q (n – m(ξ0, s) + 1) → 00≥ξ max , (2) m(ξ0, s) = min {i ∈ I ξ si ≥ ξ0}. Подставляя (1)-(2) в целевую функцию страхователя, получаем: (3) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + + ii i i s,Qp s,Q s ξξ ξξ ξ ξ 0 0 0 1 , i ∈ I. Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог гипотезы реальных оценок (ГРО): (4) si ≤ pi, i ∈ I. Из анализа выражения (3) следует, что одним из равновесий Нэша1 s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (5) * is = dp, i ∈ I. Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (5) ожидаемая полезность страховщика равна2 1 Равновесие Нэша (5) не является единственным. В частности, равновесными являются, например, следующие сообщения: страхователи, у которых значения pi ξi меньше нагрузки, сообщают достоверную информацию, а страхователи, у которых pi ξi больше нагрузки, сообщают оценки, совпадающие с нагрузкой, которая определяется как решение задачи (1)-(2) с s = ξ p. Тем не менее, если страховщик рассчитывает на гарантированный результат, то, вычисляя минимум по множеству равновесий Нэша игры страхователей, он получит именно (5). 2 Оценка (6) и подробные ей (см. ниже) могут быть получены применением страховщиком принципа максимального гарантированного результата. 66 Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что ему выгодно завышение оценок. В то же время, при наступлении страхового случая в результате деятельности аварийного комиссариата величина потерь, как правило идентифицируется достаточно точно, то есть имеет место аналог ГРО: (10) si ≤ Qi, i ∈ I. Следовательно, с одной стороны страхователи стремятся завышать оценки, а с другой стороны – эти оценки ограничены сверху истинным значением потерь, то есть оптимальной стратегией каждого страхователя является сообщение достоверной информации. Если отказаться от условия (10), то получим, что механизм определения страховых нагрузок на основании сообщений о потерях манипулируем. Центру неизвестны {ξi}. Для простоты будем считать, что все страхователи характеризуются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхового случая и одинаковыми вероятностями наступления страхового случая p. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dξ; Dξ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dξ; Dξ]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (11) EΦ(ξ0, s) = ξ0 Q ∑ = + n )(mi is0 1 1 ξ → 00≥ξ max , (12) m(ξ0, s) = min {i ∈ I p si ≥ ξ0}. Подставляя (11)-(12) в целевую функцию страхователя, получаем: (13) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + +−+ ii i i iiiii ps,Qp ps,Q s sppp 0 0 0 1 ξ ξ ξξ , i ∈ I. Из анализа выражения (13) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (14) * is = dξ, i ∈ I. 69 (22) π0(s) = Ik max ∈ ∑ = n ki i is ξ+1 [pk (1 +ξk) – pi]. Подставляя (22) в целевую функцию страхователя, получаем: (23) Efi(π0, s) = g – pi Qi + si [pi iξ π +1 0 ], i ∈ I. Как и в задаче выбора нагрузки к нетто-ставке, если истинный размер ущерба становится известным апостериори, то оптимальной стратегией каждого страхователя является сообщение достоверной информации. Если отказаться от этого предположения, то получим, что механизм определения страхового тарифа на основании сообщений о потерях манипулируем. Центру неизвестны {ξi}. Для простоты будем считать, что все страхователи характеризуются одинаковыми величинами потерь Q при наступлении страхового случая и одинаковыми вероятностями наступления страхового случая p. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dξ; Dξ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dξ; Dξ]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования π0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (24) EΦ(π0, s) = Q ∑ = + −n )s,(mi i i s p 0 1 0 ξ π → 00 ≥π max , (25) m(π0, s) = min {i ∈ I p si ≥ ξ0}. Подставляя (24)-(25) в целевую функцию страхователя, получаем: (26) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + −− ii i i iii ps,Qp ps,Q s )s(p 0 0 0 1 ξ ξ ξπ , i ∈ I. Из анализа выражения (26) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (ср. с (14): (27) * is = dξ, i ∈ I. |