|
I роятности наступления страхового случая: ,$'г< а(з)рь Ье1. Подставляя (3.44) и (3.42) в (3.39) и вычисляя производную по получим, что — — = О д л Ц ь Р,Ч, Л . х (3.45) < 0 Л е 1 . к 7 Из (3.45) следует, что механизм (3.44) является манипулируемым. Содержательно каждый из страхователей стремится занизить вероятность наступления страхового случая, так как данное занижение сильнее уменьшает размер страхового взноса, чем долю страхового возмещения. I 1 Альтернативой для (3.43) является использование следующего механизма взаимного страхования. Пусть страхователи заключают договор, в котором оговаривается, что в начале рассматриваемого периода они должны сообщить оценки вероятностей наступления страхового случая (страховые взносы в начале периода не собираются), а затем в конце рассматриваемого периода (когда реализовались страховые случаи) они полностью компенсируют «пострадавшим» ущерб, а размер взноса каждого из страхователей определяется на основании сообщенных в начале периода оценок. Ожидаемое возмещение равно Н = '£,1€1р1 (}1 , следовательно, сумма взносов должна равняться Н, то есть п (5) = Н. (3.46) Зависимости г / ) являются механизмом управления. Ожидаемое значение целевой функции страхователя имеет вид: Е^ = д 1п ( Б ) Л е I. (3.47) Условие выгодности участия во взаимном страховании имеет вид: ¿6/. (3.48) следующий механизм управления каждого страхователя пропорционален сообщенному им ожидаемому ущер бу: 141 I |
76 вероятностей наступления страхового случая, то есть ri(s) = si Qi, а после наступления страховых случаев возмещение осуществляется пропорционально собранному страховому фонду R(s) = )s(r Ii i∑ ∈ , то есть (4) hi(s) = α(s) Qi, i ∈ I, где α(s) – единая доля страхового возмещения (отношение страхового возмещения hi(s) к страховой сумме Qi), определяемая исходя из соотношения между страховым фондом R(s) и необходимым объемом страхового возмещения H. Выбор зависимости α(⋅) является стратегией управления (стратегией страховщика). Подставляя (4) в (1), получаем, что условие выгодности участия во взаимном страховании для i-го страхователя можно записать в виде: (5) si ≤ α(s) pi, i ∈ I. Если используется следующая стратегия управления: (6) α(s) = min {R(s) / H, 1}, то получаем, что балансовое условие (2) выполнено всегда, а из (5) следует, что сообщение страхователя не превышает истинного значения вероятности наступления страхового случая: si ≤ α(s) pi, i ∈ I. Подставляя (4) и (6) в (1) и вычисляя производную по si, получим, что (7) i i s Ef ∂ ∂ = Qi [ ∑ ∈Ii ii ii Qp Qp 1] ≤ 0, i ∈ I. Из (7) следует, что механизм (6) является манипулируемым. Содержательно, каждый из страхователей стремится занизить вероятность наступления страхового случая, так как данное занижение сильнее уменьшает размер страхового взноса, чем долю страхового возмещения. Альтернативой для (5) является использование следующего механизма взаимного страхования. Пусть страхователи заключают договор, в котором оговаривается, что в начале рассматриваемого периода они должны сообщить оценки вероятностей наступления страхового случая (страховые взносы в начале периода не собираются!), а затем в конце рассматриваемого периода (когда реализо 77 вались страховые случаи) они полностью компенсируют «пострадавшим» ущерб, а размер взноса каждого из страхователей определяется на основании сообщенных в начале периода оценок. Ожидаемое возмещение равно H = ∑ ∈Ii iiQp , следовательно сумма взносов должна равняться H, то есть (8) ∑ ∈Ii i )s(r = H. Зависимости ri(⋅) являются механизмом управления. Ожидаемое значение целевой функции страхователя имеет вид: (9) Efi = gi – ri(s), i ∈ I. Условие выгодности участия во взаимном страховании имеет вид: (10) ri(s) ≤ pi Qi, i ∈ I. Если выбрать следующий механизм управления, при котором взнос каждого страхователя пропорционален сообщенному им ожидаемому ущербу: (11) ri(s) = ∑ ∈Ii ii ii Qs Qs H, i ∈ I, то максимум (9) достигается при минимальных сообщениях, то есть механизм (11) является манипулируемым. Интересно отметить следующее свойство механизма (11): при подстановке (11) в (10) получается, что одним из решений соответствующей системы неравенств является (12) si /pi = Const, i ∈ I. Следовательно, сообщение достоверной информации является допустимой стратегией, приводящей к выполнению (3). Однако, к сожалению, эта допустимая стратегия не является равновесной. Анализ условий (9)-(10) подсказывает, что для того, чтобы уменьшить искажение информации следует выбрать такой механизм управления, в котором размер страхового взноса убывал бы с ростом заявки страхователя. Рассмотрим следующий пример. Пример 4. Пусть используется следующий механизм взаимного страхования: |