|
95 их ковариационной матрицы Zx. , которая, является одновременно выборочной корреляционной матрицей R исходных наблюдений X ,. 2.4.2. Вычисление главных компонент Из определения главных компонент следует, что для вычисления первой главной компоненты необходимо решить оптимизационную задачу вида (2.4.1), т.е. в данном случае: v a i t t ^ m a x ; V,T = 1. где /, первая строка матрицы L (2.4.4). Учитывая центрированность переменной X (т.е. Е^ = 0) и то, что Е(ЛЗГТ) = Е, имеем х ^ Х ^ Щ Х ) 1=E(/1XVT/1T) = /1X^T(2-4.8) Следовательно, задача (2.4.7) может быть записана следующим образом: (2.4.9) Используяфункцию Лагранжа $?(/1Я) = /, £/ , т -1) и дифференцируя ее по компонентам вектор-столбца /], получаем следующее выражение: ? = 2 1 /,т -2Д/,т , (2.4.10) что дает систему для определения /,: (Б А/)/,т = 0 (2.4.11) (здесь 0=(0,0,...,0)т р -мерный вектор-столбец из нулей). Для того, чтобы существовало ненулевое решение системы (2.4.11) (а оно должно быть ненулевым, так как /,/,т =1), матрица Е-W должна быть вырожденной, т.е. £-Я / = 0 (2.4.12) |
74 физическую природу и соответственно измерены в одних и тех же единицах. Если же признаки измеряются в различных единицах, что имеет место при построении математических моделей маршрутных норм расхода топлива городскими автобусами, то результаты исследования с помощью главных компонент будут существенно зависеть от выбора масштаба и природы единиц измерения. Поэтому в подобных ситуациях необходимо предварительно перейти к вспомогательным безразмерным признакам x‘t0, например, с помощью нормирующего преобразования [2,31,39]: где < т и соответствует ранее введенным обозначениям, а затем строить главные компоненты относительно этих вспомогательных признаков х ' и их ковариационной матрицы i r , которая, является одновременно выборочной корреляционной матрицей R исходных наблюдений х,. Из определения главных компонент следует, что для вычисления первой главной компоненты необходимо решить оптимизационную задачу вида (2.3.12), т.е. в данном случае: где /, первая строка матрицы L (формула 2.3.15). Учитывая центрированность переменной х (т.е. т г = о) и то, что E(jott ) = 2:, имеем 2.3.3. Вычисление главных компонент .3.18) var(/,X) =Е(1,Х)г =Е(/,ХГТ/,Т)= Ц 1 Х ■ (2.3.19) |