• распределение вероятностей установившегося состояния системы можно представить в виде произведения ФРВ. Аналитическое определение характеризующих систему величин является относительно легким, если все функции распределения в ней экспоненциального или эрланговского вида. Тогда система описывается с помощью однородных непрерывных марковских цепей или однородных процессов рождения и гибели. Нередко расчет системы сводится к решению системы дифференциальных уравнений Чемпена • Колмогорова At-методом, либо методом фаз Эрланга [68]. В системах, где не все распределения экспоненциальные, используют аналитические методы, которые позволяют "марковизировать" общие случайные процессы, изменив их так, чтобы они стали однородными марковскими процессами. Типичные способы марковизирования в ТМО метод вложенных цепей Маркова, метод дополнительных переменных, использование кусочно-линейных марковских процессов. Для большинства систем, описываемых марковскими процессами, особенно для систем с приоритетными дисциплинами обслуживания, основные характеристики (длина очереди и времена ожидания различных приоритетных классов) получаются в терминах преобразований ЛапласаСтильтьеса или производящих функций. Такой подход допускает лишь получение первых моментов и малопригоден для построения распределений в явном виде. Попытки получения явных формул сводятся к введению дополнительных ограничений на систему, либо к разработке алгоритмов, пригодных лишь для узкого класса систем. Так в работе [64] при вычислении длины очереди в многоканальной системе с приоритетами даже применение простого итерационного алгоритма накладывает на систему требования экспоненциальности распределения времени обслуживания. Теорема Джексона, утверждающая, что в состоянии равновесия совместные распределения по всем узлам сети Джексона разлагаются в 1 7 |
• уравнения баланса (система линейных уравнений) могут быть составлены и численно решены за адекватно короткое время (условие размерности пространства состояний); • к переходам в пространстве состояний могут быть применены рекуррентные методы для получения вероятности нескольких состояний, и затем функции распределения длин очередей могут быть выражены в терминах этих состояний (свойство структуры переходов в пространстве состояний); • распределение вероятностей установившегося состояния системы можно представить в виде произведения ФРВ. Аналитическое определение характеризующих систему величин является относительно легким, если все функции распределения в ней экспоненциального или эрланговского вида. Тогда система описывается с помощью однородных непрерывных марковских цепей или однородных процессов рождения и гибели. Нередко расчет системы сводится к решению системы дифференциальных уравнений Чемпена Колмогорова At-методом, либо методом фаз Эрланга [64, 69]. В системах, где не все распределения экспоненциальные, используют аналитические методы, которые позволяют "марковизировать" общие случайные процессы, изменив их так, чтобы они стали однородными марковскими процессами. Типичные способы марковизирования в ТМО метод вложенных цепей Маркова, метод дополнительных переменных, использование кусочно-линейных марковских процессов. Для большинства систем, описываемых марковскими процессами, особенно для систем с приоритетными дисциплинами обслуживания, основные характеристики (длина очереди и времена ожидания различных приоритетных классов) получаются в терминах преобразований ЛапласаСтильтьеса или производящих функций. Такой подход допускает лишь 24 получение первых моментов и малопригоден для построения распределений в явном виде. Попытки получения явных формул сводятся к введению дополнительных ограничений на систему, либо к разработке алгоритмов, пригодных лишь для узкого класса систем. Так в работе [135] при вычислении длины очереди в многоканальной системе с приоритетами даже применение простого итерационного алгоритма накладывает на систему требования экспоненциальности распределения времени обслуживания. Теорема Джексона, утверждающая, что в состоянии равновесия совместные распределения по всем узлам сети Джексона разлагаются в произведение маргинальных распределений, явилась основополагающим результатом в аналитической теории СеМО. Дальнейшие исследования различных модификаций сети Джексона позволили обобщить теорему Джексона на случай СеМО с несколькими классами заявок, с несколькими дисциплинами обслуживания и с центрами обслуживания, некоторые из которых имеют произвольные (но рациональные) распределения времени обслуживания. Такая сеть является обобщенной моделью СеМО, глобальное распределение вероятностей установившегося состояния в которой приводится к форме произведения. Все узлы такой сети совершенные СМО (т.е. при пуассоновском входящем потоке функционирование узла описывается эргодическим марковским процессом, что приводит к пуассоновскому выходящему потоку). К совершенным СМО относятся СМО 4-х типов: • Узел типа I: MM[1-FCFS (обслуживание в порядке поступления). • Узел типа 2: MG1-PS (циклический (круговой) алгоритм с квантом времени, стремящемся к нулю). • Узел типа 3: MGoo. 25 |