|
произведение маргинальных распределений, явилась основополагающим результатом в аналитической теории СеМО. Дальнейшие исследования различных модификаций сети Джексона позволили обобщить теорему Джексона на случай СеМО с несколькими классами заявок, с несколькими дисциплинами обслуживания и с центрами обслуживания, некоторые из которых имеют произвольные (но рациональные) распределения времени обслуживания. Такая сеть является обобщенной моделью СеМО, глобальное распределение вероятностей установившегося состояния в которой приводится к форме произведения. Все узлы такой сети совершенные СМО (т.е. при пуассоновском входящем потоке функционирование узла описывается эргодическим марковским процессом, что приводит к пуассоновскому выходящему потоку). К совершенным СМО относятся СМО 4-х типов: • Узел типа 1: MM1-FCFS (обслуживание в порядке поступления). • Узел типа 2: MG1-PS (циклический (круговой) алгоритм с квантом времени, стремящемся к нулю). • Узел типа 3:MGoo. • Узел типа 4: MG[1-LCFSPR (обслуживание в обратном порядке с абсолютным приоритетом и дообслуживанием). Узлы типа 1 соответствуют случаям, рассмотренным Джексоном, Гордоном и Ньюэллом (с одним обслуживающим прибором), с показательным распределением времени обслуживания с параметром [1,г , который может быть функцией числа требований г в данном узле. В узлах типов 2, 3 и 4 распределения времени обслуживания произвольны, но с рациональным преобразованием Лапласа (в них используется тот факт, что данные системы имеют решение, не зависящее от распределения времени обслуживания). 18 |
получение первых моментов и малопригоден для построения распределений в явном виде. Попытки получения явных формул сводятся к введению дополнительных ограничений на систему, либо к разработке алгоритмов, пригодных лишь для узкого класса систем. Так в работе [135] при вычислении длины очереди в многоканальной системе с приоритетами даже применение простого итерационного алгоритма накладывает на систему требования экспоненциальности распределения времени обслуживания. Теорема Джексона, утверждающая, что в состоянии равновесия совместные распределения по всем узлам сети Джексона разлагаются в произведение маргинальных распределений, явилась основополагающим результатом в аналитической теории СеМО. Дальнейшие исследования различных модификаций сети Джексона позволили обобщить теорему Джексона на случай СеМО с несколькими классами заявок, с несколькими дисциплинами обслуживания и с центрами обслуживания, некоторые из которых имеют произвольные (но рациональные) распределения времени обслуживания. Такая сеть является обобщенной моделью СеМО, глобальное распределение вероятностей установившегося состояния в которой приводится к форме произведения. Все узлы такой сети совершенные СМО (т.е. при пуассоновском входящем потоке функционирование узла описывается эргодическим марковским процессом, что приводит к пуассоновскому выходящему потоку). К совершенным СМО относятся СМО 4-х типов: • Узел типа I: MM[1-FCFS (обслуживание в порядке поступления). • Узел типа 2: MG1-PS (циклический (круговой) алгоритм с квантом времени, стремящемся к нулю). • Узел типа 3: MGoo. 25 • Узел типа 4: M[Gjl-LCFSPR (обслуживание в обратном порядке с абсолютным приоритетом и дообслуживаяием). Узлы типа 1 соответствуют случаям, рассмотренным Джексоном, Гордоном и Ньюэллом (с одним обслуживающим прибором), с показательным распределением времени обслуживания с параметром fiir , который может быть функцией числа требований г в данном узле. В узлах типов 2, 3 и 4 распределения времени обслуживания произвольны, но с рациональным преобразованием Лапласа (в них используется тот факт, что данные системы имеют решение, не зависящее от распределения времени обслуживания). Сети, сконструированные из совершенных СМО, обладают свойствами однородности обслуживания (интенсивность ухода заявок из узла полностью определяется длиной очереди, и она не зависит от состояния остальной части сети) и однородности следования (вероятность перехода заявки из одного узла в другой не зависит от состояния сети). В работе [32] отмечается, что в реальных сетях, когда величины очередей к узлам ограничены объемом буферных накопителей, а потери заявок недопустимы, возникают блокировки отдельных узлов, и их игнорирование в модели приводит к существенным расчетным погрешностям. Блокировки, нарушая свойство однородности сети, делают, как правило, невозможным применение точных аналитических методов. Однако, в простейших случаях для экспоненциальных неоднородных сетей удается получить решение в мультипликативной форме. Так, в работе [8 6 ] доказывается, что в замкнутой экспоненциальной сети массового обслуживания с единичными приборами и блокировкой, при которой заявка после окончания обслуживания в i-м узле не переходит в (i+l)-bra узел, если в последнем нет свободных мест для ожидания, а 26 |