|
ожидаемому страховому возмещению, из (2.14) следует, что = О (коммерческое страхование невыгодно, то есть /4 = 0 и ЕФ ~ 0 см. выражения (2.18) и (2.20), а ожидаемая полезность страхователя (2.17) одинакова как при заключении страхового контракта, так и при его незаключении). Рассмотрев страховой кошракт между страховщиком и одним страхователем, перейдем к описанию моделей взаимодействия между одним страховщиком и несколькими страхователями, характеризуемыми отношением к риску {¿¡¡} и потерями {£>,;}, i е /= {1, 2 ,..., п}, где п число страхователей. Предположим, что страховщик фиксирует нагрузку ф) к нетто-ставке. Тогда при различных вероятностях наступления страхового случая страховые тарифы % для различных страхователей также будут различны: % = р, + По аналогии с одноэлементной системой имеем: (2.21) Г1= М А Й>Л(= J L ^ = 1 + £ 1 + £ 1 + f, Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле: (2.22) р ^ < р ^ 2<...<рп^ ь тогда из (2.18), (2 .2 1) и (2 .2 2) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна (2.23) М ( 6 ) = * ± 7 % , /=/я(Ч0; 1 + £у где (2.24) т($о) = min {i e l \р& > }. Мерой взаимовыгодное™ страхового контракта будет (2.25) А = £ ^ Ж , 1 + Содержательно, при заданной нагрузке £0 к нетто-ставке в страховании будут участвовать те агенты, для которых величина ¿;,р, превышает эту нагрузку, то есть те агенты, у которых вероятность наступления страхового случая и/или степень несклонности к риску велика относительно нагрузки. Задачу (2.26) ЕФ(£о) -> max 100 |
54 Сумма (EΦ + ∆Ef), которую мы обозначим ∆ может рассматриваться как «мера» взаимовыгодности страхового контракта: (12) ∆ = ξ ξ +1 p Q . В предельном случае – при нейтральном к риску страхователе (чему соответствует ξ = 0) из (4) следует, что страховой взнос равен ожидаемому страховому возмещению, из (6) следует, что ξ0 = 0 (коммерческое страхование невыгодно1 , то есть ∆ = 0 и EΦ = 0 – см. выражения (10) и (12), а ожидаемая полезность страхователя (9) одинакова как при заключении страхового контракта, так и при его незаключении). Рассмотрев страховой контракт между страховщиком и одним страхователем, перейдем к описанию моделей взаимодействия между одним страховщиком и несколькими страхователями, характеризуемыми отношением к риску {ξi} и потерями {Qi}, i ∈ I = {1, 2, ..., n}, где n – число страхователей. Предположим, что страховщик фиксирует нагрузку ξ0 к неттоставке. Тогда при различных вероятностях наступления страхового случая страховые тарифы π0i для различных страхователей также будут различны: π0i = pi + ξ0. По аналогии с одноэлементной системой имеем: (13) ri = i i i Q p ξ ξ + + 1 0 , hi = i iQ ξ+1 , ∆Efi = i ii i p Q ξ ξξ + − 1 0 , i ∈ I. Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле: (14) p1 ξ1 ≤ p2 ξ2 ≤ ... ≤ pn ξn, тогда из (10), (13) и (14) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна (15) EΦ(ξ0) = ξ0 ∑ = n )(mi 0ξ i iQ ξ+1 , где (16) m(ξ0) = min {i ∈ I pi ξi ≥ ξ0}. 1 Невыгодность понимается в том смысле, что ни один из участников не получает при заключении страхового контракта строго большей полезности, чем при его незаключении. 55 Мерой взаимовыгодности страхового контракта будет (17) ∆ = ∑ = n )(mi 0ξ i iii Qp ξ ξ +1 . Содержательно, при заданной нагрузке ξ0 к нетто-ставке в страховании будут участвовать те агенты, для которых величина ξi pi превышает эту нагрузку, то есть те агенты, у которых вероятность наступления страхового случая и/или степень несклонности к риску велика относительно нагрузки. Задачу (18) EΦ(ξ0) → 00≥ξ max определения нагрузки к нетто-ставке, которая максимизирует ожидаемую полезность страховщика при условии добровольного участия в страховании страхователей, назовем задачей определения нагрузки к нетто-ставке. Предположим, что страховщик фиксирует единый для всех страхователей страховой тариф π0. При известных вероятностях наступления страхового случая (равных в силу принципа эквивалентности нетто-ставкам) можно вычислить «нагрузки к неттоставкам»: ξ0i = π0 – pi. По аналогии с (13), получаем: (19) ri = i iQ ξ π +1 0 , hi = i iQ ξ+1 , ∆Efi = i iii i pp Q ξ πξ + −+ 1 0 , i ∈ I. Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле: (20) p1 (1 + ξ1) ≤ p2 (1 + ξ2) ≤ ... ≤ pn (1 + ξn), тогда из (19) и (20) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна (21) EΦ(π0) = ∑ = n )(mi 0π i iQ ξ+1 (π0 – pi), где (22) m(π0) = min {i ∈ I pi (1 + ξi) ≥ π0}. Мерой взаимовыгодности страхового контракта остается величина ∆, определяемая выражением (17), в которой нижний индекс суммирования равен m(π0). |