|
Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог гипотезы реальных оценок (ГРО): (2.36) 5,<рп / £7/. Из анализа выражения (2.35) следует, что одним из равновесий Нэша является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (2.37) я* с1р, / е I. Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (2.37) ожидаемая полезность страховщика равна (2-38) Е д 1 + С /е/ Величина (2.38) может рассматриваться как оценка «потерь» в эффективности страхования, вызванных наличием неопределенности неполной информированности страховщика о параметрах страхователей (вероятностях наступления страхового случая). Легко видеть, что для того, чтобы ожидаемая полезность страховщика была неотрицательна достаточно выполнения следующего соотношения (2.39) £ > ф р-<1Р) Ч , а правая часть (2.39) может интерпретироваться как «относительная» неопределенность. Содержательно неравенство (2.39) означает, что несклонность страхователей к риску должна компенсировать неполноту информации страховщика. В предельном случае (при Д> = <1Р, то есть при отсутствии неопределенности и одинаковых страхователях) (2.392.40) переходит в следующее условие взаимовыгодности страхования: ^>0, которое неоднократно обсуждалось выше. Центру неизвестны {СЦ. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей {¿¡¡} и вероятности {/?,} наступления страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение д, Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей ¿7 ¿г \с1о; Од], / е1, (5 = (.?, л-2, ..., ,?„) [ёв; /%]") о величинах 107 |
64 sn) ∈ [dp; Dp]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (1) EΦ(ξ0, s) = ξ ξ +1 0Q (n – m(ξ0, s) + 1) → 00≥ξ max , (2) m(ξ0, s) = min {i ∈ I ξ si ≥ ξ0}. Подставляя (1)-(2) в целевую функцию страхователя, получаем: (3) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + + ii i i s,Qp s,Q s ξξ ξξ ξ ξ 0 0 0 1 , i ∈ I. Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог гипотезы реальных оценок (ГРО): (4) si ≤ pi, i ∈ I. Из анализа выражения (3) следует, что одним из равновесий Нэша1 s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (5) * is = dp, i ∈ I. Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (5) ожидаемая полезность страховщика равна2 1 Равновесие Нэша (5) не является единственным. В частности, равновесными являются, например, следующие сообщения: страхователи, у которых значения pi ξi меньше нагрузки, сообщают достоверную информацию, а страхователи, у которых pi ξi больше нагрузки, сообщают оценки, совпадающие с нагрузкой, которая определяется как решение задачи (1)-(2) с s = ξ p. Тем не менее, если страховщик рассчитывает на гарантированный результат, то, вычисляя минимум по множеству равновесий Нэша игры страхователей, он получит именно (5). 2 Оценка (6) и подробные ей (см. ниже) могут быть получены применением страховщиком принципа максимального гарантированного результата. 65 (6) δpEΦ(ξ0) = n dp Q ξ+1 Q ∑ ∈Ii ip . Величина (6) может рассматриваться как оценка «потерь» в эффективности страхования, вызванных наличием неопределенности – неполной информированности страховщика о параметрах страхователей (вероятностях наступления страхового случая). Легко видеть, что для того, чтобы ожидаемая полезность страховщика была неотрицательна достаточно выполнения следующего соотношения (7) ξ ≥ (Dp – dp) / dp, а правая часть (7) может интерпретироваться как «относительная» неопределенность. Содержательно неравенство (7) означает, что несклонность страхователей к риску должна компенсировать неполноту информации страховщика. В предельном случае (при Dp = dp, то есть при отсутствии неопределенности и одинаковых страхователях) (7) переходит в следующее условие взаимовыгодности страхования: ξ ≥ 0, которое неоднократно обсуждалось выше. Центру неизвестны {Qi}. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей {ξi} и вероятности {pi} наступления страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение ξi pi. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dQ; DQ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dQ; DQ]n ) о величинах потерь, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (8) ξ0(s) = ξk pk, k = Ik max ∈ {ξk pk ∑ = n ki i is ξ+1 }. Подставляя (8) в целевую функцию страхователя, получаем: (9) Efi(ξ0, s) = g – pi Qi + si i ii )s(p ξ ξξ + − 1 0 , i ∈ I. 68 (17) EΦ(π0, s) = ξ+1 Q ∑ = − n )s,(mi i )s( 0 0 π π → 00≥π max , (18) m(π0, s) = min {i ∈ I (1 + ξ) si ≥ π0}. Подставляя (17)-(18) в целевую функцию страхователя, получаем: (19) Efi(π0, s) = g +> +≤ + ii i s)(,Qp s)(,Q ξπ ξπ ξ π 1 1 1 0 0 0 , i ∈ I. Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог ГРО: (20) si ≤ pi, i ∈ I. Из анализа выражения (19) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (ср. с (5)) (21) * is = dp, i ∈ I. Таким образом, механизм определения страхового тарифа оказывается манипулируемым. При сообщениях (21) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (6), следовательно оценка (7) остается достаточной для «неразорения» страховщика и в случае механизма назначения страхового тарифа. Таким образом, потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Центру неизвестны {Qi}. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей {ξi} и вероятности {pi} наступления страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение (1 + ξi) pi. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dQ; DQ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dQ; DQ]n ) о величинах потерь, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: |