|
(2.60) В ^ О Д ) М [1 /г 1+£ (2.61) = ~ [ я ь ( 1 ^ М 1 + й ) )р<гр,(-)]1+ ь Утверждение 2.2. В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Доказательство утверждения 3. Покажем, что имеет место (2.62) тах ЕГ>ЕФ(^{]) > тах Е„ЕФ(ло). о Обозначим р = р дЕр() ожидаемую вероятность наступления <1 страхового случая. Очевидно, что имеет место с1р < р <й р, а, следовательно, и следующие оценки значений (2.60) и (2.61) на границах отрезков допустимых значений аргументов: (2.63) Е Е Щ о = £ Э Р) =ЕрЕФ(я0= (1 + § ОД = 0, Е Е Щ й = >ЕрЕФ(щ (1 + № Р) = 0 [(1 + 0 <2-р]/(1 + & Сравним теперь максимальные значения выражений (2.60) и (2.61) внутри соответствующих интервалов. Докажем, что V ль е 1(1 + & р; (1 + &>р\ 3 & е [ф Р; ф Р\. ЕрЕФ(&) >Е ф ^ щ ). Предположим противное, то есть пусть 3 7Г0 е [(/ + ф Р; (1 + ^)ВР\: V д0 е [&Р; ф Р\ выполнено ЕрЕ Ф (ф < Е рЕФ(щ). Запишем последнее выражение используя (5.28) и (5.29): (264> Г ~ 7 + Ь 1+£_ Так как щ фиксировано, то вычислим р 0= яь/(! + £) и ¿¡о ~ ъРоОчевидно, что, если /Т0 е [(1 + д)с!Р; (1 + дфр], то до е [ф Р; ф Р]. Неравенство (2.64) должно выполняться и для Е,о~ £оПосле несложных преобразований получаем: (2.65) р о ( \ Е р(ро))> \рс1Ер{-). Ра 113 |
71 Пусть Fp: [dp; Dp] → [0; 1] – известная страховщику непрерывная интегральная функция распределения вероятностей вероятностей наступления страхового случая. По аналогии с (1) и (17) получаем, что математическое ожидание целевой функции страховщика равно (28) Ep EΦ(ξ0) = ξ ξ +1 0Q [1 – Fp(ξ0/ξ)], (29) Ep EΦ(π0) = ξ+1 Q [π0 (1 – Fp(π0/(1+ξ)) ∫ + ⋅ D )/( p )(dFp ξπ 10 ]. Утверждение 3. В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Доказательство утверждения 3. Покажем, что имеет место (30) ]D;d[ pp max ξξξ ∈0 Ep EΦ(ξ0) ≥ ]D)(;d)[( pp max ξξπ ++∈ 110 Ep EΦ(π0). Обозначим p = ∫ ⋅ D d p )(dFp ожидаемую вероятность наступления страхового случая. Очевидно, что имеет место dp ≤ p ≤ Dp, а, следовательно, и следующие оценки значений (28) и (29) на границах отрезков допустимых значений аргументов: (31) Ep EΦ(ξ0 = ξ Dp) = Ep EΦ(π0 = (1 + ξ) Dp) = 0, Ep EΦ(ξ0 = ξ dp) = ξ d Q / (1 + ξ) ≥ ≥ Ep EΦ(π0 = (1 + ξ) dp) = Q [(1 + ξ) d p ] / (1 + ξ). Сравним теперь максимальные значения выражений (28) и (29) внутри соответствующих интервалов. Докажем, что ∀ π0 ∈ [(1 + ξ) dP; (1 + ξ) DP] ∃ ξ0 ∈ [ξ dP; ξ DP]: Ep EΦ(ξ0) ≥ Ep EΦ(π0). Предположим противное, то есть пусть ∃ π0 ∈ [(1 + ξ) dP; (1 + ξ) DP]: ∀ ξ0 ∈ [ξ dP; ξ DP] выполнено Ep EΦ(ξ0) < Ep EΦ(π0). Запишем последнее выражение используя (28) и (29): ∀ ξ0 ∈ [ξ dP; ξ DP] 101 Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрены теоретикоигровые и оптимизационные модели механизмов страхования. Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы (см. утверждения 1-5): Ø Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке. Ø Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми, причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата. Ø Ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая. Ø Потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Ø В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Ø Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; г) Для любого механизма скидок существует эквивалентный прямой механизм. Ø Для того, чтобы страхование оказывало предупредительное и мотивационное воздействие на страхователя, параметры |