Проверяемый текст
(Диссертация 2004)
[стр. 131]

(3.17) Л о.....и г , ^ = Д, / € /.
(3.15) Е/{ в ) = & з & + 11о + />£,■ № ) / * К 1], I е /.
Ж(5) ♦ Найдем равновесие Нэша .у игры страхователей.
Для этого, обозначив (3.16) Д = 1 М е д определим сообщения, доставляющие максимумы ожидаемым полезностям страхователей.
Для этого рассмотрим систему уравнений:
Складывая л уравнений (3.17), получим ¥($) = ( п 1 ) Я 0/ Д где Д = X!Д • /е7 Подставляя (3.16), имеем: (3.18) 1¥(з) = 7?0.
Подставляя (3.18) в (3.17), окончательно получаем: (3.19) Итак, решение (3.19) является равновесием Нэша.
Более того, оно является допустимым равновесием, так как все равновесные сообщения страхователей неотрицательны и обеспечивают страхователям не меньшее значение ожидаемой полезности, чем при неучастии в смешанном страховании (последнее утверждение легко проверяется сравнением
5 О, р , е , т у п ' 1 ) « р ш КК(57 Подставляя (3.19) в (3.12) и (3.13), получаем: (3.20) г,(/) = 0, г е 7, (3.21) х,(з) = Щ Д0, » е /.
Можно показать, что механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; 131
[стр. 82]

82 (4) Efi(s) = gi – si Qi + )s(W Qs ii R0 + pi Qi [W(s) / W – 1], i ∈ I.
Найдем равновесие Нэша s* игры страхователей.
Для этого, обозначив (5) βi = 1 W Qp ii , i ∈ I, определим из условий i i s Ef ∂ ∂ = 0, i ∈ I, сообщения, доставляющие максимумы ожидаемым полезностям страхователей.
Для этого рассмотрим систему уравнений:
(6) R0 )s(W Qs)s(W ii 2 − = βi, i ∈ I.
Складывая n уравнений, получим W(s) = (n – 1) R0 / β, где β = ∑ ∈Ii iβ .
Подставляя (5), имеем: (7) W(s) = R0.
Подставляя (7) в (6), получаем: (8) * is = pi R0 / W, i ∈ I.
Итак, решение (8) является равновесием Нэша.
Более того, оно является допустимым равновесием, так как все равновесные сообщения страхователей неотрицательны и обеспечивают страхователям не меньшее значение ожидаемой полезности, чем при неучастии в смешанном страховании (последнее утверждение легко проверяется сравнением
si Qi )s(W Qs ii R0 pi Qi [W(s) / W – 1] и pi Qi).
Подставляя (8) в (1) и (2), получаем: (9) ri(s* ) = 0, i ∈ I, (10) xi(s* ) = W Qp ii R0, i ∈ I.
Утверждение 4.
Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра;


[стр.,83]

83 б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; г) Для любого механизма скидок существует эквивалентный прямой механизм.
Доказательство утверждения 4.
Справедливость пункта а) следует из (7), б) – из (10), в) – из (8).
Поэтому остановимся на доказательстве пункта г).
Напомним, что если задан некоторый непрямой механизм планирования, в котором равновесные сообщения агентов зависят от их типов, то механизм, в котором агенты сообщают свои типы, а центр определяет планы подставляя сообщения в равновесие непрямого механизма, называется соответствующим исходному прямым механизмом [49].
Соответствующий прямой механизм, который неманипулируем (то есть является механизмом, в котором сообщение достоверной информации является доминантной стратегией каждого агента), называется эквивалентным прямым механизмом.
В соответствии с приведенными определениями исходным является механизм (2), а соответствующий ему прямой механизм x’(σ), где σ = (σ1, σ2, ..., σn) – вектор сообщений страхователей о вероятностях наступления страхового случая, определяется подстановкой (8) в (2), то есть: (11) * is (σ) = ∑ ∈Ii ii i Q R σ σ 0 , i ∈ I, (12) * ix (σ) = ∑ ∈Ij j * j i * i Q)(s Q)(s σ σ R0 = ∑ ∈Ii ii ii Q Q σ σ R0, i ∈ I, причем ∀ σ W(s* (σ)) = ∑ ∈Ii i * i Q)(s σ = R0.
Подставляя (12) в (4), получаем следующую зависимость ожидаемого выигрыша i-го страхователя от сообщений страхователей в прямом механизме: (13) ∀ σ Efi(σ) = gi + pi Qi [R0 / W – 1], i ∈ I.


[стр.,101]

101 Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрены теоретикоигровые и оптимизационные модели механизмов страхования.
Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы (см.
утверждения 1-5): Ø Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке.
Ø Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми, причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата.
Ø Ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая.
Ø Потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа.
Ø В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа.
Ø Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; г) Для любого механизма скидок существует эквивалентный прямой механизм.
Ø Для того, чтобы страхование оказывало предупредительное и мотивационное воздействие на страхователя, параметры

[Back]