(3.17) Л о.....и г , ^ = Д, / € /. (3.15) Е/{ в ) = & з & + 11о + />£,■ № ) / * К 1], I е /. Ж(5) ♦ Найдем равновесие Нэша .у игры страхователей. Для этого, обозначив (3.16) Д = 1 М е д определим сообщения, доставляющие максимумы ожидаемым полезностям страхователей. Для этого рассмотрим систему уравнений: Складывая л уравнений (3.17), получим ¥($) = ( п 1 ) Я 0/ Д где Д = X!Д • /е7 Подставляя (3.16), имеем: (3.18) 1¥(з) = 7?0. Подставляя (3.18) в (3.17), окончательно получаем: (3.19) Итак, решение (3.19) является равновесием Нэша. Более того, оно является допустимым равновесием, так как все равновесные сообщения страхователей неотрицательны и обеспечивают страхователям не меньшее значение ожидаемой полезности, чем при неучастии в смешанном страховании (последнее утверждение легко проверяется сравнением 5 О, р , е , т у п ' 1 ) « р ш КК(57 Подставляя (3.19) в (3.12) и (3.13), получаем: (3.20) г,(/) = 0, г е 7, (3.21) х,(з) = Щ Д0, » е /. Можно показать, что механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; 131 |
82 (4) Efi(s) = gi – si Qi + )s(W Qs ii R0 + pi Qi [W(s) / W – 1], i ∈ I. Найдем равновесие Нэша s* игры страхователей. Для этого, обозначив (5) βi = 1 W Qp ii , i ∈ I, определим из условий i i s Ef ∂ ∂ = 0, i ∈ I, сообщения, доставляющие максимумы ожидаемым полезностям страхователей. Для этого рассмотрим систему уравнений: (6) R0 )s(W Qs)s(W ii 2 − = βi, i ∈ I. Складывая n уравнений, получим W(s) = (n – 1) R0 / β, где β = ∑ ∈Ii iβ . Подставляя (5), имеем: (7) W(s) = R0. Подставляя (7) в (6), получаем: (8) * is = pi R0 / W, i ∈ I. Итак, решение (8) является равновесием Нэша. Более того, оно является допустимым равновесием, так как все равновесные сообщения страхователей неотрицательны и обеспечивают страхователям не меньшее значение ожидаемой полезности, чем при неучастии в смешанном страховании (последнее утверждение легко проверяется сравнением si Qi )s(W Qs ii R0 pi Qi [W(s) / W – 1] и pi Qi). Подставляя (8) в (1) и (2), получаем: (9) ri(s* ) = 0, i ∈ I, (10) xi(s* ) = W Qp ii R0, i ∈ I. Утверждение 4. Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; 83 б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; г) Для любого механизма скидок существует эквивалентный прямой механизм. Доказательство утверждения 4. Справедливость пункта а) следует из (7), б) – из (10), в) – из (8). Поэтому остановимся на доказательстве пункта г). Напомним, что если задан некоторый непрямой механизм планирования, в котором равновесные сообщения агентов зависят от их типов, то механизм, в котором агенты сообщают свои типы, а центр определяет планы подставляя сообщения в равновесие непрямого механизма, называется соответствующим исходному прямым механизмом [49]. Соответствующий прямой механизм, который неманипулируем (то есть является механизмом, в котором сообщение достоверной информации является доминантной стратегией каждого агента), называется эквивалентным прямым механизмом. В соответствии с приведенными определениями исходным является механизм (2), а соответствующий ему прямой механизм x’(σ), где σ = (σ1, σ2, ..., σn) – вектор сообщений страхователей о вероятностях наступления страхового случая, определяется подстановкой (8) в (2), то есть: (11) * is (σ) = ∑ ∈Ii ii i Q R σ σ 0 , i ∈ I, (12) * ix (σ) = ∑ ∈Ij j * j i * i Q)(s Q)(s σ σ R0 = ∑ ∈Ii ii ii Q Q σ σ R0, i ∈ I, причем ∀ σ W(s* (σ)) = ∑ ∈Ii i * i Q)(s σ = R0. Подставляя (12) в (4), получаем следующую зависимость ожидаемого выигрыша i-го страхователя от сообщений страхователей в прямом механизме: (13) ∀ σ Efi(σ) = gi + pi Qi [R0 / W – 1], i ∈ I. 101 Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрены теоретикоигровые и оптимизационные модели механизмов страхования. Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы (см. утверждения 1-5): Ø Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке. Ø Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми, причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата. Ø Ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая. Ø Потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Ø В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Ø Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; г) Для любого механизма скидок существует эквивалентный прямой механизм. Ø Для того, чтобы страхование оказывало предупредительное и мотивационное воздействие на страхователя, параметры |