|
Подставляя выражения (3.81) и (3.82) в функции ожидаемых полезностей страхователей и дифференцируя по соответствующим действиям, получим (для обеспечения точки максимума достаточно потребовать, чтобы страховой тариф или сумма нагрузки и вероятности наступления страхового случая были у каждого страхователя выпуклы по его действию): (3-85) р,я (у) + (у) = (1 + £) у & ь г е 1, (3.86) < ( / ) = (! + & № ь * е / . Утверждение 3.5. Использование страховых тарифов или нагрузок, удовлетворяющих следующим условиям: (3.87) ¿0;(у) = &р(у), / 6 I, (3.88) щ,(у) (1 + £ )р,(у), г е I исключает моральный риск. Справедливость утверждения 3.5 обосновывается следующим образом: подставляя (3.87)-( 3.88) в (3.85)-( 3.86) и сравнивая с (3.79), получаем, что у =у*. Отметим, что использование (3.87)-( 3.88) при у = у* удовлетворяет (3.83)-(3.84). Следующее утверждение является следствием применения общих результатов, рассмотренных в [119], для рассматриваемой модели страхования. Утверждение 3.6. а) При использовании механизма %<Р,(У,>У-,)<У, = у] . ,j, I ^ 9у m ax р 4 у, * у, (3.89) Ш = где у* у*, а = max max &р,{у), выбор г-ым страхователем действия у] является его доминантной стратегией; б) При использовании механизма (3.90) Ш Ш у,>у->)»у, = у, . j £тах . 4 . у , * у , где у =у*, а = max max &р,{у), вектор у является равновесием Нэша М у игры страхователей; в) При использовании единой для всех страхователей нагрузки к непоставке ¿о(у) или единого страхового тарифа щ(у) множество действий 168 |
96 Подставляя выражения (5) и (6) в функции ожидаемых полезностей страхователей и дифференцируя по соответствующим действиям1 (9) ' i iy p (y* ) + ' i iy0ξ (y* ) = (1 + ξi) γi / Qi, i ∈ I, (10) ' i iy0π (y* ) = (1 + ξi) γi / Qi, i ∈ I. Утверждение 7. Использование страховых тарифов или нагрузок, удовлетворяющих следующим условиям: (11) ξoi(y) = ξi pi(y), i ∈ I, (12) π0i(y) = (1 + ξi) pi(y), i ∈ I исключает моральный риск2 . Справедливость утверждения 7 обосновывается следующим образом: подставляя (11)-(12) в (9)-(10) и сравнивая с (3), получаем, что y* = y*. Следующее утверждение является следствием общих результатов, приведенных в [52]. Утверждение 8. а) При использовании механизма (13) ξ0i(y) = ≠ =− * ii max * iii * iii yy, yy),y,y(p 0ξ ξ , i ∈ I, где y* = y*, а max 0ξ = Ii max ∈ y max ξi pi(y), выбор i-ым страхователем действия * iy является его доминантной стратегией; б) При использовании механизма (14) ξ0i(y) = ≠ =− * ii max * ii * i * iii yy, yy),y,y(p 0ξ ξ , i ∈ I, где y* = y*, а max 0ξ = Ii max ∈ y max ξi pi(y), вектор y* является равновесием Нэша игры страхователей; в) При использовании единой для всех страхователей нагрузки к нетто-ставке ξ0(y) или единого страхового тарифа π0(y) множество 1 Для обеспечения точки максимума можно потребовать, чтобы страховой тариф или сумма нагрузки и вероятности наступления страхового случая были у каждого страхователя выпуклы по его действию. 2 Использование управлений (11)-(12) при y = y* удовлетворяет (7)-(8). |