|
небольшое количество групп, при котором изменение признаков, относящихся к какой-либо одной группе, обуславливается в основном каким-то одним общим фактором, своим для каждой такой группы. После принятия этой гипотезы разбиение на группы естественно строить таким образом, чтобы параметры, принадлежащие к одной группе, были коррелированны сравнительно сильно, а параметры, принадлежащие к разным группам, слабо. После такого разбиения для каждой группы признаков строится случайная величина, которая в некотором смысле наиболее сильно коррелированна с параметрами данной группы; эта случайная величина интерпретируется как искомый фактор, от которого существенно зависят все параметры данной группы [89]. Очевидно, подобная схема является одним из частных случаев общей логической схемы факторного анализа. В отличие от ранее описанных классических моделей факторного анализа при эвристически оптимизационном подходе группировка признаков и выделение общих факторов делаются на основе экстремизации некоторых эвристически введенных функционалов. Разбиения, оптимизирующие функционал J] или Л , называется экстремальной группировкой параметров. Вообще под задачей экстремальной группировки набора случайных величин х(),х(2),...,х(/’>на заранее заданное число классов р понимают отыскание такого набора подмножеств 5„3'2,...£.натурального ряда чисел 1,2,...р, что 5; ={1,2,...,/?}, а 5 ,п ^ = 0 при и таких р нормированных (т.е. с единичной дисперсией £>/(/)=1) факторов / (1\ / (2>,...,/(/’), которые максимизируют какой либо критерий оптимальности. В качестве критерия оптимальности используется функционал А =£[со/г(х(У\ / (,>)]" +...+ ^\согг{х(1\ / р) , (2.5) /€>', /еД». |
52 При изучении сложных объектов, заданных многими параметрами, возникает задача разбиения параметра на группы, каждая из которых характеризует объект с какой либо одной стороны. Но получение легко интерпретируемых результатов осложняется тем, что во многих приложениях измеряемые параметры (признаки) лишь косвенно отражают существенные свойства, которые характеризуется объект. Подобная природа формирования набора частных характеристик объекта или системы присуща широкому классу явлений и процессов в экономике, социологии, медицине, педагогике и т.п. Во многих случаях изменение какого-либо общего фактора сказывается неодинаково на измеряемых признаках, в частности, исходная совокупность из р признаков обнаруживает такое естественное «расщепление» на сравнительно (с р ) небольшое количество групп, при котором изменение признаков, относящихся к какой-либо одной группе, обуславливается в основном каким-то одним общим фактором, своим для каждой такой группы. После принятия этой гипотезы разбиение на группы естественно строить таким образом, чтобы параметры, принадлежащие к одной группе, были коррелированны сравнительно сильно, а параметры, принадлежащие к разным группам, слабо. После такого разбиения для каждой группы признаков строится случайная величина, которая в некотором смысле наиболее сильно коррелированна с параметрами данной группы; эта случайная величина интерпретируется как искомый фактор, от которого существенно зависят все параметры данной группы [3]. Очевидно, подобная схема является одним из частных случаев общей логической схемы факторного анализа. В отличие от ранее описанных классических моделей факторного анализа при эвристически оптимизационном подходе группировка признаков и выделение общих факторов делаются на основе экстремизации некоторых эвристически введенных функционалов. Разбиения, оптимизирующие функционал ./, или 53 J2, называется экстремальной группировкой параметров. Вообще под задачей экстремальной группировки набора случайных величин х°\х{2\...,х(р)на заранее заданное число классов рпонимают отыскание такого набора подмножеств 5,,й29..£ .натурального ряда чисел 1,2, р, что и /=?*5, = {1,2,...,р), а 5,гл5'ч =0 при 1фцу1 таких р нормированных (т.е. с единичной дисперсией О / (/>=1) факторов / <1\ / (2),~>/(р')» которые максимизируют какой либо критерий оптимальности. В качестве критерия оптимальности иcпoJ[ьзyeтcя функционал У, = £[согг(х(' \ / (,))Г +...+ £ (я » г(* » ,/'')]\ (2.5) I /€5•р в котором под согт(х,/) понимается обычный парный коэффициент корреляции между признаком х и фактором / . Обозначим Л, ={х(1),1е 5,},/ = 1 , 2 , . Максимизация функционала J] (как по разбиению признаков на группы так и по выбору факторов / (1), / (2),...,/°’)) отвечает требованию такого разбиения параметров, когда в одной группе оказываются наиболее «близкие» между собой, в смысле степени коррелированности, признаки: в самом деле, при максимизации функционала ./,, для каждого фиксированного набора случайных величин / (1,, / (2>,...,/(,,), в одну 1-ую группу будут попадать такие признаки, которые наиболее сильно связаны (коррелированы) с величиной / (,); в то же время среди всех возможных наборов случайных величин / <1>, / <2>,...,/будет выбираться такой набор, что каждая из величин / (/)в среднем наиболее «близка» ко всем признакам своей группы. Очевидно, что при заданных классах 5 , , оптимальный набор факторов / <'), / <2,,...,/(/’)получается в результате независимой максимизации каждого слагаемого |