|
программирования превратится в задачу нечеткого математического программирования [52]. Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования. Перечислим некоторые из таких постановок [88]. Задача 1. Максимизация заданной обычной функции f : X + R ' на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив [0,1]. Задача 2. Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования. Пусть определена следующая задача математического программирования: f(x)-> max, ср(х) < 0, хе X Нечеткий вариант этой задачи получается, если “смягчить” ограничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Кроме того, вместо максимизации функции f(x) можно стремиться к достижению некоторого заданного значения этой функции, причем различным отклонениям значения функции от этой величины приписывать различные степени допустимости. Задача 3. Нечетко описана “максимизируемая” функция, т.е. задано отображение //<,: X х R' -> [0,1], где X универсальное множество альтернатив, R} числовая ось. В этом случае функция //Дх0,г) при каждом фиксированном х0е X представляет собой нечеткое описание оценки результата выбора альтернативы х0 (нечеткую оценку альтернахивы.v0)или нечетко известную реакцию управляемой системы на управление х0. Задано так же нечеткое множество допустимых альтернатив /.ic:X-> [0,1]. 61 |
ГЛАВА 6. АЛГОРИТМЫ НЕЧЕТКОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 6.1. Характеристика задач нечеткого математического программирования Классическое математическое программирование и его разновидности в значительной степени нормативная методология эффективного выбора. Нечеткое же программирование выделяет естественную множественность неточно определенных целей, значений и ограничений. При этом оптимальность определяется и в терминах поведения, и как качество, присущее решению. Главная цель нечеткого математического программирования (НМП) помочь лицу, принимающему решение, разобраться в выдвинутых им допущениях. Нечеткий подход не подменяет собой простейшего анализа в поисках разумной точности. Он облегчает задачу лица, принимающего решения, позволяя ему не формулировать явно точные ограничения. Вот почему плодотворный обмен идеями между теорией нечетких множеств и классическим программированием может явиться значительным шагом к созданию новых методов. Стандартная задача нечеткого математического программирования формулируется обычно как задача максимизации (или минимизации) заданной функции на заданном множестве допустимых альтернатив, которое описывается системой равенств или неравенств. Например: , где Х заданное множество альтернатив, и заданные функции. При моделировании в нечеткой форме реальных задач принятия решений в распоряжении исследователя математика могут оказаться лишь нечеткие описания функции f и ϕ, параметров, от которых зависят эти функции, да и самого множества Х. Таким образом, задача стандартного математического программирования превратится в задачу нечеткого математического программирования. Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования. Перечислим некоторые из таких постановок [179]. Задача 1. Максимизация заданной обычной функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив . Задача 2. Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования. Пусть определена следующая задача математического программирования: Нечеткий вариант этой задачи получается, если “смягчить” ограничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Кроме того, вместо максимизации функции f(х) можно стремиться к достижению некоторого заданного значения этой функции, причем различным отклонениям значения функции от этой величины приписывать различные степени допустимости. Задача 3. Нечетко описана “максимизируемая” функция, т.е. задано отображение ,где Х универсальное множество альтернатив, числовая ось. В этом случае функция при каждом фиксированном представляет собой нечеткое описание оценки результата выбора альтернативы (нечеткую оценку альтернативы ) или нечетко известную реакцию управляемой системы на управление . Задано так же нечеткое множество допустимых альтернатив . Задача 4. Заданы обычная максимизируемая функция и система ограничений вида , причем параметры в описаниях функций заданы в форме нечетких множеств. Задача 5. Нечетко описаны как параметры функций,определяющих ограничения задачи, так и самой максимизируемой функции. Рассмотрим, например подробнее задачу линейного программирования с нечёткими коэффициентами. Нечеткость в постановке задачи математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании целевой функции. (6.1) На практике часто сталкиваются с применением точной теории оптимизации к неточным моделям, где нет оснований писать точно определенные числа и где слишком часто появляются трудности вычислительного характера при описании больших систем. Нечеткую обстановку можно рассматривать как множество Х альтернатив вместе с его нечеткими подмножествами, представляющими собой нечетко сформулированные критерии (цели и ограничения), т.е. как систему (Х, f0, f1, ..., fn). Принять во внимание по возможности все критерии в такой задаче означает построить функцию D = f0 f1 ... fn, (6.2) в которую цели и ограничения входят одинаковым образом. Решение можно определить как нечеткое подмножество универсального множества альтернатив. Оптимум соответствует той области Х , элементы которой максимизируют D. Это и есть случай нечеткого математического программирования. Очевидно, неразумно в реальных ситуациях проводить резкую границу для множества допустимых альтернатив, поскольку может случится так, что распределения, лежащие за этой границей, дадут эффект, превышающий меньшую желательность для лица принимающего решения. Например, ясно, что при несовместных распределениях эта область пустая. В этом случае налицо необходимость модификации ограничений. Желательно выяснить, как изменить ограничения задачи, чтобы появились допустимые решения и задача стала разрешимой. В таких случаях представляется целесообразным вводить нечеткое множество допустимых элементов и, следовательно, рассматривать проблему как задачу НМП с применением подхода, дающего человеку больше свободы в использовании его субъективных представлений о ситуации. Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач НМП. Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования получается, если "смягчить" ограничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Кроме того, вместо максимизации целевой функции f(x) можно стремиться к достижению некоторого заданного ее значения, причем различным отклонениям значения f(x) от этой величины приписывать различные степени допустимости (например, чем больше отклонение, тем меньше степень его допустимости). Пусть а заданная величина функции цели f(x), достижение которой считается достаточным для выполнения цели принятия решений, и пусть имеется пороговый уровень b такой, что неравенство f(x) < a-b означает сильное нарушение неравенства f(x) a. Тогда функцию принадлежности для нечеткой функции цели можно определить следующим образом: (6.3) где μа функция принадлежности, описывающая степени выполнения соответствующего неравенства с точки зрения лица, принимающего решения. Аналогично определяется функция принадлежности для нечетких ограничений. В результате исходная задача оказывается сформулированной в форме задачи выполнения нечетко определенной цели, к которой применим подход Беллмана Заде (6.2). При моделировании ситуации в форме задачи линейного программирования (6.4) о коэффициентах aij, bi и ci известно лишь то, что они находятся в некотором множестве, отражающем все реальные возможности. В некоторых случаях точное описанное множество ограничений (допустимых альтернатив) может оказаться лишь приближением реальности в том смысле, что в реальной задаче альтернативы вне множества ограничений могут не допустимыми, а лишь в той или иной степени менее желательными для лица, принимающего решения, чем альтернативы внутри этого множества. Рассмотрим задачу нахождения минимума на заданной области. Пусть задана область вида: |