Таким образом, мы перешли от нечётких множеств к чётко определённым и теперь, зная, что аобычный интервал, можем записать нашу задачу в следующем виде: (а„,ап)х, +(с„ ,сп)х2с (&„,Ъп) (3.6) (а 21’ а 22)Х1 + (.СН’ С22)Х2 —(^21 ^22 ) Теперь, чтобы привести задачу к виду обычной задаче линейного программирования, нам достаточно записать неравенства отдельно по левому и правому краям интервалов, с учётом знаков неравенства. Т.е., мы приведём систему к следующему виду : <*11*1 + с „ * 2 ¿6,1 «12*1 "^<"12*2 ~ ^12 С помощью несложных преобразований мы перешли от задачи с нечёткими коэффициентами к задаче линейного программирования с чёткими коэффициентами, при этом количество ограничений увеличилось в два раза и полученную задачу мы можем решить симплексным методом. Таким образом, из рассмотренного примера явно просматривается алгоритм решения задачи с нечеткими коэффициентами. Как видим, исходная задача НМП представляется в виде совокупности обычных задач линейного программирования на всевозможных множествах уровня множества допустимых альтернатив. Если альтернатива хо есть решение задачи тт{с,х)на множестве уровня а, то можно считать что число а есть степень принадлежности альтернативы хо нечеткому множеству решений исходной задачи. Перебрав, таким образом, всевозможные значения а, получаем функцию принадлежности нечеткого решения. 65 |
, (6.5) где нечеткие подмножества множества R, а бинарная операция + обозначает сложение нечетких множеств. Требуется найти на заданной области. Коэффициент при каждой переменной в ограничениях можно считать функцией полезности, определенной на числовой оси. Можно считать, что эти коэффициенты дают субъективную оценку различных возможностей, включая таким образом другие, не определенные ограничения. Сведём решение исходной задачи к решению ряда задач линейного программирования. Для этого введём дискретные α -уровни. В результате нечёткие ограничения принимают следующий интервальный вид: (6.6) Т.о., мы перешли от нечётких множеств к чётко определённым и теперь, зная, что σобычный интервал, можем записать нашу задачу в следующем виде (случай 2 ? 2 ): (а11, а12) x1 + (c11, с12) x2 (b11, b12) (а21, а22) x1 + (с21, с22) x2 (b21, b22) (6.7) Теперь, чтобы привести задачу к виду обычной задаче линейного программирования, нам достаточно записать неравенства отдельно по левому и правому краям интервалов, с учётом знаков неравенства. Т.е., мы приведём систему к следующему виду: а11x1 + с11x2 b11 a12x1 + c12x 2 b12 (6.8) a21x1 + c21x2 b21 a22x1 + c22x2 b22 С помощью несложных преобразований мы перешли от задачи с нечёткими коэффициентами к задаче линейного программирования с чёткими коэффициентами, при этом количество ограничений увеличилось в два раза и полученную задачу мы можем решить симплексным методом. Таким образом, из рассмотренного примера явно просматривается алгоритм решения задачи с нечеткими коэффициентами. Следуя ходу рассуждений в данном примере, составим алгоритм решения задачи. Он имеет вид: Как видим, исходная задача НМП представляется в виде совокупности обычных задач линейного программирования на всевозможных множествах уровня множества допустимых альтернатив. Если альтернатива х0 есть решение задачи на множестве уровня α, то можно считать что число α есть степень принадлежности альтернативы х0 нечеткому множеству решений исходной задачи. Перебрав таким образом всевозможные значения α, получаем функцию принадлежности нечеткого решения. Если же и компоненты целевой функции сi являются нечеткими, то необходимо выбирать для каждого уровня α соответствующие границы множеств в соответствии с правилами интервальной арифметики, минимизируя предварительно таким образом . Из данного примера видно, что за гибкость приходится платить ценой увеличения размерности задачи. Фактически исходная задача с ограничениями по включению преобразуется в задачу с ограничениями в виде неравенств, с которыми легко обращаться; при этом такая цена не слишком высока, поскольку сохраняется возможность использования хорошо разработанных классических методов. 6.2. Численные методы решения задач нелинейного, линейного, нечеткого и интервального программирования В реальной жизни мы чаще сталкиваемся со сложными системами, имеющими иерархическую структуру. Размерность таких задач, как правило, бывает очень велика, что создает трудности для применения к подобным системам симплекс-метода. Решение таких систем симплекс-методом без их преобразования это очень трудоемкая процедура, которая к тому же даже на современных вычислительных машинах занимает много времени. Это делает практически невозможным решение таких задач без специальных методов. Поэтому к таким системам обычно применяют методы декомпозиции, т.е. “большую” задачу разбивают на необходимое число меньших подзадач и решают симплекс-методом уже ее подзадачи, а затем сводят к решению первоначальной задачи. исходная задача вводим дискретные α уровни ограничения принимают интервальный вид записываем неравенства отдельно по левому и правому краям с учетом знаков неравенства (при этом размерность увеличивается) получаем задачу ЛП с четкими коэффициентами решаем полученную задачу симплекс методом |