|
2 Основные соотношения конечно-элементного анализа, процессов упруго-пластического деформирования 2.1 Вариационные подходы к решению задач методом конечного элемента Основная-идея МКЭ основывается на замене некоторой непрерывной величины в пределах рассматриваемой области дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Неизвестная искомая величина в пределах каждого КЭ аппроксимируется, как правило, полиномиальной функцией заданного вида с учётом требования непрерывности на границах смежных КЭ. При этом выбор формы конечного элемента и вида выражения, аппроксимирующего действительный-закон изменения исследуемой величины в пределах КЭ, является одним из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ, от которого существенно зависит точность приближённого решения. Таким образом, непрерывная в пределах исследуемой области неизвестная величина (например, перемещение, скорость перемещения, напряжение, температура и т. д.) представляется через конечное число её дискретных значений в узлах элементов [50, 152, 154]. Построение разрешающих уравнений МКЭ для решения задач механики деформируемых сред базируется, на соответствующих вариационных принципах и вытекает из оптимизации некоторой интегральной величины (функционала), связанной с работой или мощностью напряжений и внешней приложенной нагрузки при соблюдении заданных граничных условий. В общем виде такой функционал с учётом действия массовых и поверхностных сил можно представить выражением: J = Ад + Ам + АВ У (2.1) где Ад работа или мощность внутренних сил; Аи работа или мощность, развиваемая массовыми силами; Лв работа или мощность внешних сил. Дальнейшая процедура МКЭ предусматривает представление выражения |
Содержание Введение......................................................................................................................4 1. Современное состояние теории и технологии осадки кольцевых заготовок..................................................................................................................................10 1.1. Осадка осесимметричных заготовок.................................................11 1.2. Методы решения осесимметричных задач пластического формоизменения.............................................................................................................. 20 1.3. Метод конечных элементов..................................................................22 1.4. Цель и задачи исследования................................................................ 25 2. Основные соотношения конечно-элементного анализа процессов упруго-пластического деформирования.......................................................................26 2.1. Вариационные подходы к решению задач методом конечного элемента..............................................................................................................................26 2.2. Основные соотношения метода конечных элементов................30 2.3. Представление матрицы жесткости.................................................. 34 2.4. Пластическая деформация...................................................................36 2.5. Оценка повреждаемости заготовок....................................................38 2.6. Взаимодействие заготовки с инструментом.................................. 40 2.7. Т рение........................................................................................................41 2.8. Тестовая задача........................................................................................ 44 2.9. Основные результаты и выводы..........................................................48 3. Свободная осадка кольцевых заготовок............................................. 50 3.1. Расчетная схема процесса......................................................................50 3.2. Оценка адекватности модели................................................................52 3.3. Исследование напряженно-деформированного состоя ния заготовки в процессе деформирования.................................................................. 56 3.4. Влияние геометрии заготовки и условий трения на силовые и деформационные параметры процесса................................................................. 77 3.5. Основные результаты и выводы.......................................................... 89 4. Осадка кольцевой заготовки в контейнере........................................92 2 26 2. Основные соотношения конечно-элементного анализа процессов упруго-пластического деформирования 2.1. Вариационные подходы к решению задач методом конечного элемента Основная идея МКЭ основывается на замене некоторой непрерывной величины в пределах рассматриваемой области дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Неизвестная искомая величина в пределах каждого КЭ аппроксимируется, как правило, полиномиальной функцией заданного вида с учетом требования непрерывности на границах смежных КЭ. При этом выбор формы конечного элемента и вида выражения, аппроксимирующего действительный закон изменения исследуемой величины в пределах КЭ, является одним из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ, от которого существенно зависит точность приближенного решения. Таким образом, непрерывная в пределах исследуемой области неизвестная величина (например, перемещение, скорость перемещения, напряжение, температура и т. д.) представляется через конечное число ее дискретных значений в узлах элементов [20,53,54]. Построение разрешающих уравнений МКЭ для решения задач механики деформируемых сред базируется на соответствующих вариационных принципах и вытекает из оптимизации некоторой интегральной величины (функционала), связанной с работой или мощностью напряжений и внешней приложенной нагрузки при соблюдении заданных граничных условий. В общем виде такой функционал с учетом действия массовых и поверхностных сил можно представить выражением: 27 3 N д + N м + N в , ( 2 .1) где Ид работа или мощность внутренних Зил;с А'м работа или мощность, развиваемая массовыми силами; N3работа или мощность внешних сил. Дальнейшая процедура МКЭ предусматривает представление выражения (2.1) в виде функционала значений, неизвестных только в узлах КЭ, и построение разреш авш ей адстемы уравнений путем минимизации 3 по всем узловым переменным: Однако, указанный способ получения разрешающих уравнений для КЭ с помощью функционала (2.1) не является единственно возможным. В настоящее время уравнения для элементов получают путем минимизации функционала, связанного с рассматриваемым дифференциальным уравнением соответствующей задачи математической физики. Известны также конечно-элементные решения, основанные на методе Галеркина. В последнем случае отпадает необходимость в вариационной формулировке задачи. Способ получения разрешающих уравнений для КЭ, основанный на оптимизации функционала (2.1), является общепризнанным при теоретическом решении задач ОМД, поскольку вариационные принципы имеют наглядный физический смысл и достаточно строгое математическое обоснование. По отношению к функционалу (2.1) известны три вида вариационных принципа теории пластичности в зависимости от того, через какие переменные величины выражена мощность (потенциальная энергия) деформации Принцип минимума полной мощности (полной энергии) или принцип возможных изменений деформированного состояния рассматривает мощность (потенциальную энергию) деформируемого тела как функционал произвольной системы скоростей (перемещений), удовлетворяющей кинемати( 2.2) [13]. |