|
Утверждается, что для положительно определенных матриц выражение Н(р) = \/т(р‘ 8р)~ р1 р (2.14) где 8 = ХХ'Г матрица связи, определяет энтропийные свойства системы, описываемой матрицей X. (2.14) отвечает формальным свойствам энтропии: неотрицательность функции #(р) следует из известного неравенства между средним арифметическим и средним гармоническим; простой проверкой можно показать и справедливость равенства //(р) = 0 на вырожденных распределениях ру е Д„с компонентами рУ-1,Рк = О, Укфу, у = \,п. Максимум (2.14), в отличие от (2.11), (2.13), достигается на распределении, в общем случае, отличном от р0=(1/п, 1/п,..., 1/п). Это является следствием того, что (2.14) учитывает значения характеристик элементов системы и, тем самым, их индивидуальные структурные отличия друг от друга (в связи с чем, данный показатель общесистемных свойств назван квазиэптропией). С учетом этого свойства, (2.14) выступает уже как мера отличий элементов системы. Отметим, что (2.14) является естественным обобщением (2.11), определяющего энтропию системы, состоящей из элементов с одинаковыми характеристиками. Основой высокого информационного качества матрицы связи 8 является следующее ее свойство, которое позволило получить несложную алгоритмическую реализацию энтропийного метода определения обобщенного показателя систем. Известно, что для сильно транзитивных матриц К=(г,у) выполняется условие: гл = г^г]к У/,уД = 1,л. Очевидно, это условие для матрицы 8 = XX' выполняется, когда матрица X представлена одним или несколькими одинаковыми столбцами. Имеется определенное сходство между спектральными свойствами обратносимметричных матриц и матриц 8 = ХХ'Г. Для положительных матриц вида 8 = XX'7 справедливо утверждение: 'Г положительная матрица 8 = XX' сильно транзитивна (согласована) тогда и только тогда, когда её максимальное собственное значение Ятзх =т-п. 68 |
р* = аг§Я(р)-> шах рсД> Я (р)=0,5 = 1,5, «з д.={р:Х>,=1. А О V / = 1,и, где /^(р) 5 о е ( л и 1,5',) дополнительное условие на вектор р в виде аналитического уравнения. При использовании (2.11) или (2.13) для определения обобщенного показателя системы возможные состояния среды рассматриваются как множество значений характеристик ее элементов, а р ] вес (вклад) / -го элемента с которым он входит в значение обобщенного показателя системы. Однако, как было указано выше, для широкого класса задач анализа систем с известными (детерминированными) связями между элементами (значениями результатов их взаимодействия), использование (2.11, 2.13) оказывается неконструктивным из-за их инвариантности к порядку следования РУ В [36,38] для удержания информации о структуре значений признаков объектов (элементов системы) используется следующая схема. Утверждается, что для положительно определенных матриц выражение Я(р) = 1/ш( р г 8 р )ргр (2.14) где 8 = ХХ"Гматрица связи, определяет энтропийные свойства системы, описываемой матрицей X. (2.14) отвечает формальным свойствам энтропии: неотрицательность функции Я(р) следует из известного неравенства между средним арифметическим и средним гармоническим; простой проверкой можно показать и справедливость равенства Я(р) =0 на вырожденных распределениях р,. еД0 с компонентами ру = \,рк =0, V А: * у, у = 1,п . Максимум (2.14), в отличие от (2.11), (2.13), достигается на распределении, в общем случае, отличном от р0 = (1 /п, 1 /п,..., 1 / п ) . Это является следствием того, что (2.14) учитывает значения характеристик элементов системы и, тем самым, их индивидуальные 64 структурные отличия друг от друга (в связи с чем, данный показатель общесистемных свойств назван квазиэнтропией). С учетом этого свойства, (2.14) выступает уже как мера отличий элементов системы. Отметим, что (2.14) является естественным обобщением (2.11), определяющего энтропию системы, состоящей из элементов с одинаковыми характеристиками. Основой высокого информационного качества матрицы связи 8 является следующее ее свойство, которое позволило получить несложную алгоритмическую реализацию энтропийного метода определения обобщенного показателя систем. Известно, что для сильно транзитивных матриц К=(г,у) выполняется условие: гл = г1; г)к V = 1,л . Очевидно, это условие для матрицы 5 = ХХ"Г выполняется, когда матрица X представлена одним или несколькими одинаковыми столбцами. Имеется определенное сходство между спектральными свойствами обратносимметричных матриц и матриц 8 = ХХ"Г. Для положительных матриц вида 8 = ХХ'Гсправедливо утверждение: положительная матрица 8 = ХХ‘Г сильно транзитивна (согласована) тогда и только тогда, когда её максимальное собственное значение Лтк=тп'П. Непосредственной проверкой легко убедится, что собственный вектор, отвечающий максимальному собственному значению сильно транзитивной матрицы (главный собственный вектор), с точностью до нормировки совпадает с вектором-столбцом рг, определяющим матрицу X. Значения компонент этого вектора несут информацию о различиях в структуре значений элементов системы (строк анализируемой матрицы) и позволяют судить о степени их сходства или отличия р. Если известен вектор-столбец компоненты которого представляют собой обобщенные показатели элементов системы, то энтропия Я(р) такой (2.14а) 65 системы: #(р)=ргиг\у'гр-ргр. |