|
Непосредственной проверкой легко убедится, что собственный вектор, отвечающий максимальному собственному значению сильно транзитивной матрицы(главный собственный вектор), с точностью до нормировки совпадает с вектором-столбцом р , определяющим матрицу X. Значения компонент этого вектора несут информацию о различиях в структуре значений элементов системы (строк анализируемой матрицы) и позволяют судить о степени их сходства или отличия р. Если известен вектор-столбец \у, компоненты которого представляют собой обобщенные показатели элементов системы, то энтропия Н(р) такой системы: Н{р) = рТ М>М>~Т р-рТ р (2.14а) Обозначим через IV матрицу, состоящую из одинаковых столбцов \у. Исходя из определения вектора IV, энтропии (2.14) и (2.14а) должны быть близки с точки зрения спектральных свойств. В частности, максимальное собственное значение Лтах / т матрицы 8 должно быть близко к максимальному собственному значению п сильно транзитивной матрицы уулу' , а их соответствующие главные собственные вектора должны совпадать. Учитывая, что в правой части (2.14) матрица 8 = XX т при X — IV сильно транзитивна, приходим к простому правилу вычисления векгора \у: вектор \у находится как главный собственный вектор матрицы 8. Известная теорема Перрона Фробениуса гарантирует существование такого неотрицательного собственного вектора [84]. По существу в соответствии с принципом максимума энтропии обобщенный показатель определяется как решение минимаксной оптимизационной задачи, формальная запись которой имеет вид м>* = агатах тт (р./и>)г XX ~Т (р./м>) ^ 15) где р и \у — вектор-столбцы, у которых операции умножения и деления осуществляются поэлементно (р./\у обозначение поэлементного деления). 69 |
структурные отличия друг от друга (в связи с чем, данный показатель общесистемных свойств назван квазиэнтропией). С учетом этого свойства, (2.14) выступает уже как мера отличий элементов системы. Отметим, что (2.14) является естественным обобщением (2.11), определяющего энтропию системы, состоящей из элементов с одинаковыми характеристиками. Основой высокого информационного качества матрицы связи 8 является следующее ее свойство, которое позволило получить несложную алгоритмическую реализацию энтропийного метода определения обобщенного показателя систем. Известно, что для сильно транзитивных матриц К=(г,у) выполняется условие: гл = г1; г)к V = 1,л . Очевидно, это условие для матрицы 5 = ХХ"Г выполняется, когда матрица X представлена одним или несколькими одинаковыми столбцами. Имеется определенное сходство между спектральными свойствами обратносимметричных матриц и матриц 8 = ХХ"Г. Для положительных матриц вида 8 = ХХ'Гсправедливо утверждение: положительная матрица 8 = ХХ‘Г сильно транзитивна (согласована) тогда и только тогда, когда её максимальное собственное значение Лтк=тп'П. Непосредственной проверкой легко убедится, что собственный вектор, отвечающий максимальному собственному значению сильно транзитивной матрицы (главный собственный вектор), с точностью до нормировки совпадает с вектором-столбцом рг, определяющим матрицу X. Значения компонент этого вектора несут информацию о различиях в структуре значений элементов системы (строк анализируемой матрицы) и позволяют судить о степени их сходства или отличия р. Если известен вектор-столбец компоненты которого представляют собой обобщенные показатели элементов системы, то энтропия Я(р) такой (2.14а) 65 системы: #(р)=ргиг\у'гр-ргр. Обозначим через \У матрицу, состоящую из одинаковых столбцов \у. Исходя из определения векторам, энтропии (2.14) и (2.14а) должны быть близки с точки зрения спектральных свойств. В частности, максимальное собственное значение Лтах 1т матрицы —-8 должно быть близко к т максимальному собственному значению п сильно транзитивной матрицы ту"7, а их соответствующие главные собственные вектора должны совпадать. Учитывая, что в правой части (2.14) матрица 8 = ХХ"Г при X =’$' сильно транзитивна, приходим к простому правилу вычисления вектора у*: вектор \у находится как главный собственный вектор матрицы 8. Известная теорема Перрона Фробениуса гарантирует существование такого неотрицательного собственного вектора [84]. По существу в соответствии с принципом максимума энтропии обобщенный показатель определяется как решение минимаксной оптимизационной задачи, формальная запись которой имеет вид \у*=агё шах тш(р.М'ХХ‘Г(Р-Л') о. 15) реДл\У>0 где р и \у вектор-столбцы, у которых операции умножения и деления осуществляются поэлементно (р.Ду обозначение поэлементного деления). На практике, как доказано в работе [38], обобщенный показатель качества \у* системы рассчитывается в соответствии с выражением 4 (2.16) 66 где: % главный (правый) собственный вектор-столбец матрицы 8; |