|
На практике, как доказано в работе [38], обобщенный показатель качества \у* системы рассчитывается в соответствии с выражением где: ^ главный (правый) собственный вектор-столбец матрицы 8; г] главный (левый) собственный вектор-столбец транспонированной г, I соответственно главные правый и левый собственные вектора (столбцы) матрицы ХТХ'1, С точки зрения средних величин формула (2.15) есть среднее геометрическое от среднего арифметического и среднего гармонического строк матрицы X. Практическая значимость этой формулы заключается в явной зависимости обобщенного показателя от значений характеристик элементов матрицы X. Другими, принципиально важными для построения обобщенных показателей систем, характеристиками энтропийного метода, в том числе, обусловленными свойствами матрицы связи 8 = XX'г, являются: минимум субъективизма в определении весовых векторов р и лу* (следствие применения принципа максимума энтропии); инвариантность к мультипликативным коэффициентам или нормировке, обусловленная тем, что элементами 8 = XX'1 являются отношения элементов ее строк и столбцов, в которых мультипликативные коэффициенты сокращаются; чувствительность к малым значениям элементов матрицы вследствие использования в 8 = XX" обратных значений характеристик системы, что позволяет эффективно использовать информацию о се свойствах, содержащуюся в этих значениях; т (2.16) матрицы 87; 70 |
Обозначим через \У матрицу, состоящую из одинаковых столбцов \у. Исходя из определения векторам, энтропии (2.14) и (2.14а) должны быть близки с точки зрения спектральных свойств. В частности, максимальное собственное значение Лтах 1т матрицы —-8 должно быть близко к т максимальному собственному значению п сильно транзитивной матрицы ту"7, а их соответствующие главные собственные вектора должны совпадать. Учитывая, что в правой части (2.14) матрица 8 = ХХ"Г при X =’$' сильно транзитивна, приходим к простому правилу вычисления вектора у*: вектор \у находится как главный собственный вектор матрицы 8. Известная теорема Перрона Фробениуса гарантирует существование такого неотрицательного собственного вектора [84]. По существу в соответствии с принципом максимума энтропии обобщенный показатель определяется как решение минимаксной оптимизационной задачи, формальная запись которой имеет вид \у*=агё шах тш(р.М'ХХ‘Г(Р-Л') о. 15) реДл\У>0 где р и \у вектор-столбцы, у которых операции умножения и деления осуществляются поэлементно (р.Ду обозначение поэлементного деления). На практике, как доказано в работе [38], обобщенный показатель качества \у* системы рассчитывается в соответствии с выражением 4 (2.16) 66 где: % главный (правый) собственный вектор-столбец матрицы 8; ц главный (левый) собственный вектор-столбец транспонированной матрицы 5Т; г, 1 соответственно главные правый и левый собственные вектора (столбцы) матрицы ХТХ"'. С точки зрения средних величин формула (2.15) есть среднее геометрическое от среднего арифметического и среднего гармонического строк матрицы X. Практическая значимость этой формулы заключается в явной зависимости обобщенного показателя от значений характеристик элементов матрицы X. Другими, принципиально важными для построения обобщенных показателей систем, характеристиками энтропийного метода, в том числе, обусловленными свойствами матрицы связи 8 = ХХ"Г, являются: минимум субъективизма в определении весовых векторов р и лу* (следствие применения принципа максимума энтропии); инвариантность к мультипликативным коэффициентам или нормировке, обусловленная тем, что элементами 8 ХХ‘; являются отношения элементов ее строк и столбцов, в которых мультипликативные коэффициенты сокращаются; чувствительность к малым значениям элементов матрицы вследствие использования в 8 = XX~г обратных значений характеристик системы, что позволяет эффективно использовать информацию о ее свойствах, содержащуюся в этих значениях; низкую чувствительность к «возмущающим» факторам (ошибкам в определении значений характеристик), обусловленную тем, что (2.14) это квадратичная форма и поэтому имеет единственный (глобальный) экстремум, который является достаточно пологим в случае, если исходные данные имеют большую размерность; гарантированность получаемых оценок, означающую то, что они участвуют в этом с весами, которые делают эти элементы р а в н о з н а ч н ы м и с точки зрения учета вклада строк (столбцов) матрицы в значение 67 студентов, описанной в главе 2, как по условиям, в которых она решается (неопределенности исходных данных), так и по своему содержанию. Правда, с одним исключением: в рассматриваемом случае мы не оцениваем степень приближения к «идеалу», как это делали при оценивании уровня знаний. Поэтому для ее решения также был использован энтропийный метод построения обобщенных показателей систем, аналитическую запись которого (2.15) и (2.16) мы просто повторим: агё,шах тт(р-М ХХ'Т(р.М) (4.4) реД^\\>0 где \у*вектор обобщенных показателей страховых рисков страхователей; X = (*,;) — матрица «объект-признак» факторизованных характеристик страхователей, /=1, п, ] = 1, т, элементы Ху > 0 которой значения у-ой факторизованной характеристики /го страхователя; Х"т транспонированная матрица, составленная из обратных значений элементов матрицы X; р и >у вектор-столбцы, у которых операции умножения и деления осуществляются поэлементно (р.Лу обозначение поэлементного деления). Для алгоритмической реализации расчетов \у* было использовано выражение (2.17) >у* = ^= --------------• (4-5) где: § главный (правый) собственный вектор-столбец матрицы 8; г\ главный (левый) собственный вектор-столбец транспонированной матрицы 8Т; г, 1 соответственно главные правый и левый собственные вектора (столбцы) матрицы ХТХ‘‘. 121 |