|
увеличением вероятности наступления страхового случая, потерь и нагрузки к нетто-ставке. В то же время размер страхового возмещения растет с ростом потерь, убывает с ростом коэффициента £ и не зависит от вероятности наступления страхового случая и нагрузки к нетто-ставке (что обусловлено введенным выше предположением о полной компенсации ущерба). Подставляя выражения (5.1.7) и (5.1.8) в целевые функции страхователя и страховщика и обозначая g = Я с v , получим: E f= X ~ £^ f Q , (5.1.9) E 4 > = k Q . (5.1.10) 1+4 4 Из (5.1.9) (5.1.10) видно, что полезность страхователя убывает с увеличением потерь, вероятности наступления страхового случая и нагрузки к нетто-ставке, а ожидаемая полезность страховщика не зависит от вероятности наступления страхового случая (что объясняется тем, что он не склонен к риску) и возрастает с увеличением потерь и нагрузки к нетто-ставке. Выгодность страхования для страховщика оценивается величиной ЕФ (см. выражение (5.1.10)), так как в отсутствие страхового контракта его полезность равна нулю. Выгодность страхования для страхователя может быть оценена разностью AEf между его полезностью в случае заключения страхового контракта и в случае его отсутствия: A Efо (5.1-11) Сумма (ЕФ + AEf), которую мы обозначим А, может рассматриваться как мера взаимовыгодное™ страхового контракта: А = q -£ L . (5.1.12) В предельном случае при нейтральном к риску страхователе (чему соответствует £ = 0) из (5.1.4) следует, что страховой взнос равен ожидаемому страховому возмещению, из (5.1.6) следует, что о 0 (коммерческое страхование невыгодно (невыгодность понимается в том смысле, что ни один из уча259 |
53 ления страхового случая и чем более страхователь несклонен к риску, тем более выгодно страхование для страховщика. Пусть имеет место полная компенсация ущерба, то есть (5) выполняется как равенство. Тогда справедливо: (7) r = Q p ξ ξ + + 1 0 , (8) h = ξ+1 Q . Из (7)-(8) следует, что величина страхового взноса растет с увеличением вероятности наступления страхового случая, потерь и нагрузки к нетто-ставке. В то же время, размер страхового возмещения растет с ростом потерь, убывает с ростом коэффициента ξ и не зависит от вероятности наступления страхового случая и нагрузки к нетто-ставке (что обусловлено введенным выше предположением о полной компенсации ущерба). Подставляя выражения (7) и (8) в целевые функции страхователя и страховщика и обозначая g = H – c – v, получим: (9) Ef = g – Q p ξ ξ + + 1 0 , (10) EΦ = Q ξ ξ +1 0 . Из (9)-(10) видно, что полезность страхователя убывает с увеличением потерь, вероятности наступления страхового случая и нагрузки к нетто-ставке, а ожидаемая полезность страховщика не зависит от вероятности наступления страхового случая (что объясняется тем, что он несклонен к риску) и возрастает с увеличением потерь и нагрузки к нетто-ставке. Выгодность страхования для страховщика оценивается величиной EΦ (см. выражение (10)), так как в отсутствии страхового контракта его полезность равна нулю. Выгодность страхования для страхователя может быть оценена разностью ∆Ef между его полезностью в случае заключения страхового контракта и в случае его отсутствия: (11) ∆Ef = ξ ξξ + − 1 0p Q . 54 Сумма (EΦ + ∆Ef), которую мы обозначим ∆ может рассматриваться как «мера» взаимовыгодности страхового контракта: (12) ∆ = ξ ξ +1 p Q . В предельном случае – при нейтральном к риску страхователе (чему соответствует ξ = 0) из (4) следует, что страховой взнос равен ожидаемому страховому возмещению, из (6) следует, что ξ0 = 0 (коммерческое страхование невыгодно1 , то есть ∆ = 0 и EΦ = 0 – см. выражения (10) и (12), а ожидаемая полезность страхователя (9) одинакова как при заключении страхового контракта, так и при его незаключении). Рассмотрев страховой контракт между страховщиком и одним страхователем, перейдем к описанию моделей взаимодействия между одним страховщиком и несколькими страхователями, характеризуемыми отношением к риску {ξi} и потерями {Qi}, i ∈ I = {1, 2, ..., n}, где n – число страхователей. Предположим, что страховщик фиксирует нагрузку ξ0 к неттоставке. Тогда при различных вероятностях наступления страхового случая страховые тарифы π0i для различных страхователей также будут различны: π0i = pi + ξ0. По аналогии с одноэлементной системой имеем: (13) ri = i i i Q p ξ ξ + + 1 0 , hi = i iQ ξ+1 , ∆Efi = i ii i p Q ξ ξξ + − 1 0 , i ∈ I. Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в следующем смысле: (14) p1 ξ1 ≤ p2 ξ2 ≤ ... ≤ pn ξn, тогда из (10), (13) и (14) следует, что ожидаемая полезность страховщика равна (15) EΦ(ξ0) = ξ0 ∑ = n )(mi 0ξ i iQ ξ+1 , где (16) m(ξ0) = min {i ∈ I pi ξi ≥ ξ0}. 1 Невыгодность понимается в том смысле, что ни один из участников не получает при заключении страхового контракта строго большей полезности, чем при его незаключении. |