|
Пример решения задач (5.1.18) и (5.1.23) 265 Таблица 5.1.3 Pi £ Pi 1P te +П Qi я а д ) ЕФ(я0) ЕФ 'Ш ЕФ\пь) 0,05 0,70 0,04 0,09 1,00 0,28 -0,43 ' я ■Щ ш 1*. 0,50 0,10 0,80 0,08 0,18 2.00 0,60 0,26 0,11 0,95 0,10 0,21 3.00 ШШШ 0,40 0,13 0,70 0,09 0,22 4.00 0,44 0,27 0,20 1,00 0,20 0,40 5,00 0,50 Сравним эффективности страхования (понимаемые как максимальные значения целевой функции страховщика) при использовании им различных стратегий. Утверждение 1. Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке. Доказательство утверждения 1. В соответствии с (5.1.15), (5.1.21) и предположении об одинаковом отношении страхователей к риску, ожидаемые выигрыши страховщика можно записать в виде: (24) Е<ЦЛо) = %/{! + %) max {/?„ Q„; р„., (£>„./ + Q„); р, {Q, + ... £>„)}, (25) ЕФ(по) = £ /(/ + £) max {p„ Q„; р„_, (Q„_, + Q„) + р?~'~ р" Q„; р, (б/ + ... + Q2 + ...+ ^ ^ Q n } . Сравнивая попарно с учетом (5.1.14) и (5.1.20) соответствующие выражения под максимумом в (5.1.24) и (5.1.25), получаем, что >ЕФ(по). Равенство достигается, в частности, при одном или нескольких одинаковых страхователях. С содержательной точки зрения результат утверждения 1 объясняется тем, что использование единого для всех страхователей страхового тарифа «сглаживает» их индивидуальные различия и с учетом принципа эквивалентности нагрузка становится зависящей от конкретного страхователя (то есть от соответствующей вероятности наступления страхового случая), в то время |
59 соответствующем таблице 2, оптимальное число страхователей и максимальный ожидаемый выигрыш страховщика зависят от стратегии последнего. • i pi ξi pi ξi pi(ξi+1) Qi EΦ(ξ0) EΦ(π0) EΦ* (ξ0) EΦ* (π0) 1 0,05 0,70 0,04 0,09 1,00 0,28 -0,43 2 0,10 0,80 0,08 0,18 2,00 0,60 0,26 3 0,11 0,95 0,10 0,21 3,00 0,67 0,40 4 0,13 0,70 0,09 0,22 4,00 0,44 0,27 5 0,20 1,00 0,20 0,40 5,00 0,50 0,50 0,67 0,50 Таблица 3. Пример решения задач (18) и (23) Сравним эффективности страхования (понимаемые как максимальные значения целевой функции страховщика) при использовании им различных стратегий. Утверждение 1. Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке. Доказательство утверждения 1. В соответствии с (15), (21) и предположении об одинаковом отношении страхователей к риску, ожидаемые выигрыши страховщика можно записать в виде: (24) EΦ(ξ0) = ξ / (1 + ξ) max {pn Qn; pn-1 (Qn-1 + Qn); p1 (Q1 + ... Qn)}, (25) EΦ(π0) = ξ / (1 + ξ) max {pn Qn; pn-1 (Qn-1 + Qn) + ξ nn pp −−1 Qn; p1 (Q1 + ... Qn) + ξ 21 pp − Q2 + ...+ ξ npp −1 Qn}. Сравнивая с учетом (14) и (20) попарно соответствующие выражения под максимумом в (24) и (25), получаем, что EΦ(ξ0) ≥ EΦ(π0). Равенство достигается, в частности, при одном или нескольких одинаковых страхователях. • С содержательной точки зрения результат утверждения 1 объясняется тем, что использование единого для всех страхователей страхового тарифа «сглаживает» их индивидуальные различия и с учетом принципа эквивалентности нагрузка становится зависящей от конкретного страхователя (то есть от соответствующей вероят 101 Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрены теоретикоигровые и оптимизационные модели механизмов страхования. Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы (см. утверждения 1-5): Ø Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке. Ø Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми, причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата. Ø Ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая. Ø Потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Ø В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Ø Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; г) Для любого механизма скидок существует эквивалентный прямой механизм. Ø Для того, чтобы страхование оказывало предупредительное и мотивационное воздействие на страхователя, параметры |