|
& = 7t(s), где процедура л() определяется в результате решения следующей задачи: ЕФ(& s) = ^ { п т ( & , 6') + 1 ) ^ max, (5.2Л) 1+ £ «о»о т(&, s) = min {i е I \ £ s, >£>}. (5.2.2) Подставляя (5.2.1) (5.2.2) в целевую функцию страхователя, получаЕ Ш s) = g \7 7 f Q'lo " ,i € I. (5.2.3) [ P , Q . So> & , Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог гипотезы реальных оценок (ГРО): s, В частности, равновесными являются, например, следующие сообщения: страхователи, у которых значения pj Ь, меньше нагрузки, сообщают достоверную информацию, а страхователи, у которых pi больше нагрузки, сообщают оценки, совпадающие с нагрузкой, которая определяется как решение задачи (5.2.1)-(5.2.2) с s = 4РТем не менее, если страховщик рассчитывает на гарантированный результат, то, вычисляя минимум по множеству равновесий Нэша игры страхователей, он получит именно (5.2.5). s' является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть s' dp, i ё I. (5.2.5) Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (5.2.5) ожидаемая полезность страховщика равна SpEQito) = п dp Q -Я £ р ,. (5.2.6) + <5 №1 Оценка (5.2.6) и подобные ей могут быть получены применением страховщиком принципа максимального гарантированного результата. Величина 270 |
64 sn) ∈ [dp; Dp]n ) о вероятностях наступления страхового случая, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: (1) EΦ(ξ0, s) = ξ ξ +1 0Q (n – m(ξ0, s) + 1) → 00≥ξ max , (2) m(ξ0, s) = min {i ∈ I ξ si ≥ ξ0}. Подставляя (1)-(2) в целевую функцию страхователя, получаем: (3) Efi(ξ0, s) = g > ≤ + + ii i i s,Qp s,Q s ξξ ξξ ξ ξ 0 0 0 1 , i ∈ I. Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог гипотезы реальных оценок (ГРО): (4) si ≤ pi, i ∈ I. Из анализа выражения (3) следует, что одним из равновесий Нэша1 s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (5) * is = dp, i ∈ I. Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (5) ожидаемая полезность страховщика равна2 1 Равновесие Нэша (5) не является единственным. В частности, равновесными являются, например, следующие сообщения: страхователи, у которых значения pi ξi меньше нагрузки, сообщают достоверную информацию, а страхователи, у которых pi ξi больше нагрузки, сообщают оценки, совпадающие с нагрузкой, которая определяется как решение задачи (1)-(2) с s = ξ p. Тем не менее, если страховщик рассчитывает на гарантированный результат, то, вычисляя минимум по множеству равновесий Нэша игры страхователей, он получит именно (5). 2 Оценка (6) и подробные ей (см. ниже) могут быть получены применением страховщиком принципа максимального гарантированного результата. 68 (17) EΦ(π0, s) = ξ+1 Q ∑ = − n )s,(mi i )s( 0 0 π π → 00≥π max , (18) m(π0, s) = min {i ∈ I (1 + ξ) si ≥ π0}. Подставляя (17)-(18) в целевую функцию страхователя, получаем: (19) Efi(π0, s) = g +> +≤ + ii i s)(,Qp s)(,Q ξπ ξπ ξ π 1 1 1 0 0 0 , i ∈ I. Из условий выгодности заключения страхового контракта для страхователя следует, что имеет место аналог ГРО: (20) si ≤ pi, i ∈ I. Из анализа выражения (19) следует, что одним из равновесий Нэша s* является сообщение всеми страхователями минимально возможных оценок, то есть (ср. с (5)) (21) * is = dp, i ∈ I. Таким образом, механизм определения страхового тарифа оказывается манипулируемым. При сообщениях (21) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (6), следовательно оценка (7) остается достаточной для «неразорения» страховщика и в случае механизма назначения страхового тарифа. Таким образом, потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Центру неизвестны {Qi}. Будем считать, что центру известны отношение к риску страхователей {ξi} и вероятности {pi} наступления страхового случая. Следовательно, ему известно упорядочение (1 + ξi) pi. Пусть центр использует механизм с сообщением информации, то есть определяет оптимальное значение нагрузки на основании сообщений страхователей si ∈ [dQ; DQ], i ∈ I, (s = (s1, s2, ..., sn) ∈ [dQ; DQ]n ) о величинах потерь, то есть центр использует механизм планирования ξ0 = π(s), где процедура π(⋅) определяется в результате решения следующей задачи: 70 Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (27) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (15), то есть, как и случае задачи назначения нагрузки к нетто-ставке, эта полезность неотрицательна, независимо от априорной неопределенности, и для нее справедлива оценка (16) и сделанный выше вывод о влиянии неопределенности. Полученные выше в настоящем разделе результаты исследования механизмов планирования (назначения нагрузки и страхового тарифа) суммируем в виде следующего утверждения. Утверждение 2. а) Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми1 , причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата; б) ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая; в) потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. В заключение настоящего раздела исследуем случай, когда страховщик имеет информацию о распределении вероятностей2 неопределенного параметра (внутренняя вероятностная неопределенность с асимметричной информированностью в соответствии с классификацией, введенной в [51]) – вероятности наступления страхового случая. 1 Манипулируемость имеет место в рамках введенного выше предположения о полной компенсации потерь. Если сделать размер возмещения, также как и страховой взнос, гибко зависящим от сообщений страхователей, то, возможно, что удастся снизить искажения информации. 2 Отметим, что так как в вероятностных моделях используется математическое ожидание по известному распределению, то единственность или множественность страхователей не является принципиальной, поэтому для упрощения рассмотрим случай одного страхователя. |