о распределении вероятностей. Отметим, что, так как в вероятностных моделях используется математическое ожидание по известному распределению, то единственность или множественность страхователей не является принципиальной, поэтому для упрощения рассмотрим случай одного страхователя неопределенного параметра (внутренняя вероятностная неопределенность с асимметричной информированностью в соответствии с классификацией, введенной в [133]) вероятности наступления страхового случая. Пусть Fp: [dp; Dp] -> [0; /] известная страховщику непрерывная интегральная функция распределения вероятностей наступления страхового случая. По аналогии с (5.2.1) и (5.2.17) получаем, что математическое ожидание целевой функции страховщика равно Ер ЕФ(4о) = Щ [1 W 3 L (5.2.28) 1+'г ЕрЕ<Цщ) = 2 [щ (1 Fr{x(/(1 +Q) ] р dFp(-)l (5.2.29) +ь *«/(■ Утверждение 3. В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Доказательство утверждения 3. Покажем, что имеет место m a x Ер ЕйКАо) > m a x ЕрЕФ(по)(5.2.30) 277 Обозначим р = \pdFp(-) ожидаемую вероятность наступления страо иd хового случая. Очевидно, что имеет место dp < р |
70 Таким образом, механизм определения нагрузки к нетто-ставке оказывается манипулируемым. При сообщениях (27) ожидаемая полезность страховщика определяется выражением (15), то есть, как и случае задачи назначения нагрузки к нетто-ставке, эта полезность неотрицательна, независимо от априорной неопределенности, и для нее справедлива оценка (16) и сделанный выше вывод о влиянии неопределенности. Полученные выше в настоящем разделе результаты исследования механизмов планирования (назначения нагрузки и страхового тарифа) суммируем в виде следующего утверждения. Утверждение 2. а) Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми1 , причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата; б) ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая; в) потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. В заключение настоящего раздела исследуем случай, когда страховщик имеет информацию о распределении вероятностей2 неопределенного параметра (внутренняя вероятностная неопределенность с асимметричной информированностью в соответствии с классификацией, введенной в [51]) – вероятности наступления страхового случая. 1 Манипулируемость имеет место в рамках введенного выше предположения о полной компенсации потерь. Если сделать размер возмещения, также как и страховой взнос, гибко зависящим от сообщений страхователей, то, возможно, что удастся снизить искажения информации. 2 Отметим, что так как в вероятностных моделях используется математическое ожидание по известному распределению, то единственность или множественность страхователей не является принципиальной, поэтому для упрощения рассмотрим случай одного страхователя. 71 Пусть Fp: [dp; Dp] → [0; 1] – известная страховщику непрерывная интегральная функция распределения вероятностей вероятностей наступления страхового случая. По аналогии с (1) и (17) получаем, что математическое ожидание целевой функции страховщика равно (28) Ep EΦ(ξ0) = ξ ξ +1 0Q [1 – Fp(ξ0/ξ)], (29) Ep EΦ(π0) = ξ+1 Q [π0 (1 – Fp(π0/(1+ξ)) ∫ + ⋅ D )/( p )(dFp ξπ 10 ]. Утверждение 3. В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Доказательство утверждения 3. Покажем, что имеет место (30) ]D;d[ pp max ξξξ ∈0 Ep EΦ(ξ0) ≥ ]D)(;d)[( pp max ξξπ ++∈ 110 Ep EΦ(π0). Обозначим p = ∫ ⋅ D d p )(dFp ожидаемую вероятность наступления страхового случая. Очевидно, что имеет место dp ≤ p ≤ Dp, а, следовательно, и следующие оценки значений (28) и (29) на границах отрезков допустимых значений аргументов: (31) Ep EΦ(ξ0 = ξ Dp) = Ep EΦ(π0 = (1 + ξ) Dp) = 0, Ep EΦ(ξ0 = ξ dp) = ξ d Q / (1 + ξ) ≥ ≥ Ep EΦ(π0 = (1 + ξ) dp) = Q [(1 + ξ) d p ] / (1 + ξ). Сравним теперь максимальные значения выражений (28) и (29) внутри соответствующих интервалов. Докажем, что ∀ π0 ∈ [(1 + ξ) dP; (1 + ξ) DP] ∃ ξ0 ∈ [ξ dP; ξ DP]: Ep EΦ(ξ0) ≥ Ep EΦ(π0). Предположим противное, то есть пусть ∃ π0 ∈ [(1 + ξ) dP; (1 + ξ) DP]: ∀ ξ0 ∈ [ξ dP; ξ DP] выполнено Ep EΦ(ξ0) < Ep EΦ(π0). Запишем последнее выражение используя (28) и (29): ∀ ξ0 ∈ [ξ dP; ξ DP] 101 Заключение Таким образом, в настоящей работе рассмотрены теоретикоигровые и оптимизационные модели механизмов страхования. Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы (см. утверждения 1-5): Ø Если страхователи одинаково относятся к риску, то эффективность страхования при использовании единого страхового тарифа не выше, чем при использовании единой нагрузки к нетто-ставке. Ø Механизмы назначения нагрузки и страхового тарифа на основании сообщений страхователей являются манипулируемыми, причем эффективность их использования соответствует эффективности использования страховщиком принципа максимального гарантированного результата. Ø Ожидаемая полезность страховщика менее «чувствительна» к неопределенности относительно отношения страхователей к риску, нежели чем к неопределенности относительно вероятностей наступления страхового случая. Ø Потери страховщика, вызванные неполной его информированностью относительно параметров страхователей, одинаковы в случаях назначения единой нагрузки и единого тарифа. Ø В случае вероятностной неопределенности ожидаемый выигрыш страховщика при использовании единой нагрузки не ниже, чем при использовании единого страхового тарифа. Ø Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; б) Компенсация осуществляется пропорционально истинным ожидаемым потерям страхователей; в) При страховом фонде центра, равном суммарным ожидаемым потерям страхователей, равновесие Нэша соответствует сообщению достоверной информации; г) Для любого механизма скидок существует эквивалентный прямой механизм. Ø Для того, чтобы страхование оказывало предупредительное и мотивационное воздействие на страхователя, параметры |