Легко видеть, что если h,(s) = W(s) Q, / W, i е I, то балансовые условия имеют вид: \/5 Zx,(s) = Rn, R(S) = W(s), I p,h,(s) = R(s). (5.3.16) I S / i£/ Ожидаемое значение целевой функции /-го страхователя имеет вид: m s ) = & -s,Q , + Ro + Pi в, [W{s )/ W J], i e I. (5.3.17) W ( s ) Найдем равновесие Нэша s" игры страхователей. Для этого, обозначив Д = (5.3.18) дF,f определим из условий —— = 0 , / е I сообщения, доставляющие максимумы d s, ожидаемым полезностям страхователей. Для этого рассмотрим систему уравнений: к W(s) _s& _ = д . е j (5.3.19) W 2( s ) Складывая п уравнений, получим PV(s) = (п 1) Ro / ft, где /?= £ /?,. re/ Подставляя (5.3.18), имеем: W{s) = Rn. (5.3.20) Подставляя (5.3.20) в (5.3.19), получаем: s’ р, R0/ W, i e l. (5.3.21) Итак, решение (5.3.21) является равновесием Нэша. Более того, оно является допустимым равновесием, так как все равновесные сообщения страхователей неотрицательны и обеспечивают страхователям не меньшее значение ожидаемой полезности, чем при неучастии в смешанном страховании (последнее утверждение легко проверяется сравнением s,Q ,R0W ( s ) p, Q, [W (s)/W l]up, Q,). Подставляя (5.3.21) в (5.3.14) и (5.3.15), получаем: |
82 (4) Efi(s) = gi – si Qi + )s(W Qs ii R0 + pi Qi [W(s) / W – 1], i ∈ I. Найдем равновесие Нэша s* игры страхователей. Для этого, обозначив (5) βi = 1 W Qp ii , i ∈ I, определим из условий i i s Ef ∂ ∂ = 0, i ∈ I, сообщения, доставляющие максимумы ожидаемым полезностям страхователей. Для этого рассмотрим систему уравнений: (6) R0 )s(W Qs)s(W ii 2 − = βi, i ∈ I. Складывая n уравнений, получим W(s) = (n – 1) R0 / β, где β = ∑ ∈Ii iβ . Подставляя (5), имеем: (7) W(s) = R0. Подставляя (7) в (6), получаем: (8) * is = pi R0 / W, i ∈ I. Итак, решение (8) является равновесием Нэша. Более того, оно является допустимым равновесием, так как все равновесные сообщения страхователей неотрицательны и обеспечивают страхователям не меньшее значение ожидаемой полезности, чем при неучастии в смешанном страховании (последнее утверждение легко проверяется сравнением si Qi )s(W Qs ii R0 pi Qi [W(s) / W – 1] и pi Qi). Подставляя (8) в (1) и (2), получаем: (9) ri(s* ) = 0, i ∈ I, (10) xi(s* ) = W Qp ii R0, i ∈ I. Утверждение 4. Механизм скидок обладает следующими свойствами: а) Суммарный страховой взнос равен страховому фонду центра; |