|
EAv, У) = Hiy) c(y) v r(v,y) + p(v, y) [(7 + ) h(v, y) Q]. (5.3.27) Так как нас интересуют свойства механизмов страхования, а не «производственная» деятельность страхователя, то выберем простейшие зависимости затрат и дохода от его действия: Н(у) = Ху, с(у) = с() + а у, где Я может интерпретироваться как цена, по которой страхователь реализует свою продукцию, со постоянные издержки, а переменные издержки на производство единицы продукции. Из условия Н(у) с(у) v > 0 можно определить точку безубыточности yo(v) минимальный объем производства, при котором деятельность страхователя еще выгодна: y0(v) = (c„ + v)/(X -P ). (5.3.28) Относительно зависимости вероятности наступления страхового случая от у и v предположим (символ «’» обозначает производную, нижний индекс обозначает переменную, по которой производная вычисляется), что р'у >0, P v ^ 0 , р уу < 0 , р п . > 0 . В отсутствие страхования целевая функция страхователя равна Efiy, у) = Н{у) с(у) v -p(v, у) Q. Следовательно, без учета ограничения безубыточности оптимальной стратегией страхователя будет выбор (v•, у*): д р ( V .. у . ; = у_ а , & . в. , (5.3.29) 292 с т Q где у = Я /3. Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий данные зависимости. Пример 5 .3 .2 . П у с т ь p{v, у) = = i . , „ g b ^ . r .= ку+ук, " ку у К Ожидаемые потери EQ при этом равны EQ = I / Kv. При наличии страхования, если осуществляется полная компенсация |
86 стейшие зависимости затрат и дохода от его действия: H(y) = λ y, c(y) = c0 + α y, где λ может интерпретироваться как цена, по которой страхователь реализует свою продукцию, c0 – постоянные издержки, α переменные издержки на производство единицы продукции. Из условия H(y) – c(y) – v ≥ 0 можно определить точку безубыточности y0(v) – минимальный объем производства, при котором деятельность страхователя еще выгодна (см. рисунок 9): (2) y0(v) = (c0 + v) / (λ β). Рис. 9. Точка безубыточности страхователя y 0 y0 H(y) c(y)+v c0+v Относительно зависимости вероятности наступления страхового случая от y и v предположим (символ «’» обозначает производную, нижний индекс обозначает переменную, по которой производная вычисляется), что: ' yp ≥ 0, ' vp ≤ 0, '' yyp ≤ 0, '' vvp ≥ 0. В отсутствии страхования целевая функция страхователя равна (2) Ef(v, y) = H(y) – c(y) – v – p(v, y) Q. Следовательно, без учета ограничения безубыточности оптимальной стратегией страхователя будет выбор (v*, y*): (3) −= ∂ ∂ = ∂ ∂ Qv )y,v(p Qy )y,v(p ** ** 1 γ , 87 где γ = λ β. Рассмотрим следующий пример, иллюстрирующий данные зависимости. Пример 5. Пусть p(v, y) = )e(e ykvk yv −− −1 , где kv и ky – положительные константы. Решая уравнения (3), получим: v* = vk 1 ln vy vy kk kQk γ+ , y* = yk 1 ln (1 + v y k k γ ). Ожидаемые потери EQ при этом равны EQ = 1 / Kv. • В присутствии страхования, если осуществляется полная компенсация ущерба, то есть h = Q / (1 + ξ), то без учета ограничения безубыточности оптимальной стратегией страхователя будет выбор (v* , y* ): (4) −= ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 v )y,v(r y )y,v(r ** ** γ . Если (см. раздел 2.1) имеет место (5) r(v, y) = Q )y,v(p)y,v( ξ ξ + + 1 0 , то (4) примет вид (6) + −=+ + =+ Q )y,v(p)y,v( Q )( )y,v(p)y,v( **' v **' v **' y **' y ξ ξ ξγ ξ 1 1 0 0 . В рамках рассматриваемой модели стратегией страховщика является выбор зависимости ξ0(⋅) нагрузки к нетто-ставке1 от затрат на предупредительные мероприятия и действий страхователя. 1 Как отмечалось в первой главе, в экологическом страховании нагрузка к нетто-ставке включает рисковую, коммерческую и предупредительную нагрузки. Для простоты в первом приближении можно считать, что ξ0 – предупредительная нагрузка, характеризующая объем средств (точнее |