|
75 Обратная задача стимулирования заключается в поиске множества систем стимулирования, реализующих заданное действие, или, в более общем слу♦ • рассматриваемого случая многокритериальной системы стимулирования. Предположим, что использовалась система стимулирования а(*), при которой агент выбирал действие хе /> (а(*)). Утверждается, что если взять другую систему стимулирования <т(•), которая буде^т равна нулю всюду, кроме точки х, и будет равна старой системе стимулирования в точке *: то и при новой системе стимулирования это же действие агента будет доставлять максимум его целевой функции. Приведем формальное доказательство этого утверждения. Условие того, что выбор действия х доставляет максимум целевой функции агента при использовании системы стимулирования о(*), можно записать в следующем виде: разность между стимулированием и затратами, будет не меньше, чем при выбо^ ре любого другого действия: Vye А <г(х)с(х) >а(у) с{у) . Заменим систему стимулирования о(*) на систему стимулирования а(-), тогда получим следующее: в точке х система стимулирования ^ 0 попрежнему равна системе стимулирования а(*)В правой части будет тогда записана система стимулирования &(•)• Vye Л <т(х)с(х) >0с(у) . Если выполнялась первая система неравенств, то выполняется и новая система неравенств. Следовательно, х е Р(ст(-))• Так как центр стремится минимизировать выплаты агенту, при условии, ш \ что последний выбирает требуемое действие, то вознаграждение в случае вы$ ♦ ♦ чае, заданное множество действий А с А. Например, при А = {у } обратная ) задача может заключаться в поиске множества М(у*) систем стимулирования, реализующих это действие, то есть М(у*) = {сг Перейдем к решению задачи стимулирования, практически дословно повторяя решение, описанное в [843, для |
229 Множество действий агента, доставляющих максимум его целевой функции (и, естественно, зависящее от функции стимулирования), называется множеством решений игры или множеством действий, реализуемых данной системой стимулирования: (3) P(s) = Arg AyÎ max {s(y) – c(y)}. Зная, что агент выбирает действия из множества (3), центр должен найти систему стимулирования, которая максимизировала бы его собственную целевую функцию. Следовательно, эффективность системы стимулирования s Î M равна: (4) K(s) = )( min sPyÎ F(y). Прямая задача синтеза оптимальной системы стимулирования заключается в выборе допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность: (5) K(s) ® s max . Перейдем к решению задачи стимулирования, практически дословно повторяя решение, описанное в [163], для рассматриваемого случая многокритериальной системы стимулирования. Предположим, что использовалась система стимулирования s(×), при которой агент выбирал действие ))(( ×Î sPx . Утверждается, что если взять другую систему стимулирования )(~ ×s , которая будет равна нулю всюду, кроме точки x , и будет равна старой системе стимулирования в точке x : î í ì ¹ = = xy xyx y ,0 ),( )(~ s s , то и при новой системе стимулирования это же действие агента будет доставлять максимум его целевой функции [163]. Так как центр стремится минимизировать выплаты агенту при условии, что последний выбирает требуемое действие, то вознаграждение в случае выполнения плана должно равняться затратам агента (точнее – превосходить их на сколь угодно малую положительную величину d – для того, чтобы целевая функция агента имела единственный максиму – точку плана). Этот важный вывод для скалярных систем стимулирования получил название «принцип |