|
Обозначим (см. также обозначения в п. 2.1): z*(a) = arg max [az-C(z)]. (2.5.5) zeB Оптимальное с точки зрения центра значение ставки оплаты определяется как а = arg max [h(z (a))a z (а)]. (2.5.6) Утверждение 5. При п = 1, к >2, т = 1 и наличии агрегирования, система стимулирования (2.5.6) оптимальна в классе линейных систем стимулирования (2.5.3). Многокритериальная линейная система стимулирования вида (2.5.2) строится аналогично тому, как это делалось выше в одноэлементных системах. Пример 1. П у с т ь к = 2 и z у } + /Зу2, y Ify2 >0, h(z) = Я Vz, Л 2 Ф ) = (О/) + У(уг) ) / 2 г, где Д Я, у, г —строго положительные константы. Получаем: C(z) = \— z \a ) = ar{P +r), 2r(P +y) у * a -.2/3 X 4 ' * r(P2 + Перейдем теперь к постановке и решению задачи синтеза оптимальной линеинои многокритериальной системы стимулирования в многоэлементнои ОС. Если имеются несколько агентов, то для использования единой ставки оплаты необходимо, чтобы их результаты деятельности zt е В ь / g N, «измерялись» одинаково, то есть должно существовать множество В0, такое, что: Bj —Во, i £ N. Пусть центр установил ставку оплаты а > 0 , то есть предложил агентам ф ^ I систему стимулирования: cru(Zi) = aziy i е N. (2.5.7) Данная система стимулирования является унифицированной, так как ставка оплаты а одинакова для всех агентов. Однако, агенты могут быть раз |
241 систем стимулирования вида (1) обусловлена требованием неотрицательности вознаграждений. Если допустить возможность использования систем стимулирования (2), где s0 £ 0, то при выпуклых функциях затрат агента эффективность этой может быть равна эффективности оптимальной (компенсаторной) системы стимулирования. Для обоснования этого утверждения достаточно воспользоваться следующими соотношениями: y* (a) = c’ –1 (a), )( * yLs ( = c(y* ). Последнее выражение дает: s0(a) = c(c’ –1 (a)) – a c’ –1 (a). Оптимальное значение a* ставки оплаты при этом выбирается из условия максимума целевой функции центра: a* = arg 0 max ³a [H(y* (a)) – ))(( * as yL ( ]. Перейдем теперь к случаю, когда деятельность одного агента (n = 1) описывается несколькими параметрами (k ³ 2). При этом, если m ³ 2, то непонятно, что означает ставка оплаты (конечно, можно использовать несколько ставок оплаты – каждую для своей компоненты вектора результатов деятельности агента, однако, в силу аддитивности стимулирования, получим задачу, схожую со случаем скалярного результата). Поэтому будем считать, что m = 1. Тогда (3) sL(z) = a z, и целевая функция агента имеет вид: (4) f(a, y) = a Q(y) – c(y). Обозначим (см. также обозначения в разделе 5.2.1): (5) z* (a) = arg BzÎ max [a z – C(z)]. Оптимальное с точки зрения центра значение ставки оплаты определяется как (6) a* = arg 0 max ³a [h(z* (a)) – a z* (a)]. Утверждение 5.5. При n = 1, k ³ 2, m = 1 и наличии агрегирования, система стимулирования (6) оптимальна в классе линейных систем стимулирования (3). Многокритериальная линейная система стимулирования вида (2) строится аналогично тому, как это делалось выше в одноэлементных системах. 242 Пример 5.1. Пусть k = 2 и z = y1 + b y2, y1, y2 ³ 0, h(z) = l z , c(y) = ((y1)2 + g (y2)2 ) / 2 r, где b, l, g, r – строго положительные константы. Получаем: C(z) = )(2 2 2 gb g +r z , z* (a) = g gba )( 2 +r . Из выражения (6) вычисляем: a* = 3/2 2 )( 4 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é +gb g l r . · Перейдем теперь к постановке и решению задачи синтеза оптимальной линейной многокритериальной системы стимулирования в многоэлементной ОС. Если имеются несколько агентов, то для использования единой ставки оплаты необходимо, чтобы их результаты деятельности zi Î Bi, i Î N, «измерялись» одинаково, то есть должно существовать множество B0, такое, что: Bi = B0, i Î N. Пусть центр установил ставку оплаты a ³ 0, то есть предложил агентам систему стимулирования: (7) sLi(zi) =a zi, i Î N. Данная система стимулирования является унифицированной, так как ставка оплаты a одинакова для всех агентов. Однако, агенты могут быть различными, поэтому проанализируем, какие действия они будут выбирать при данной системе стимулирования. Целевая функция i-го агента имеет вид: (8) fi(y) = a Qi(y) – ci(y), i Î N. Обозначим P(a) – множество равновесий Нэша игры агентов. Тогда задача синтеза оптимальной линейной системы стимулирования сводится к выбору оптимальной ставки оплаты: (9) a* = arg 0 max ³a )( min aPyÎ [h(Q1(y), …, Qn(y)) – a åÎNi i yQ )( ]. Исследуем задачу (9) с целью получения аналитических решений для ряда практически важных частных случаев. |