|
90 личными, поэтому проанализируем, какие действия они будут выбирать при данной системе стимулирования. Целевая функция /-го агента имеет вид: fi(y) = a 6,0) с,{у), i е N. (2.5.8) & Обозначим Р(а) —множество равновесий Нэша игры агентов. Тогда зада• • ча синтеза оптимальной линейной системы стимулирования сводится к выбору I оптимальной ставки оплаты: а = arg max min [h{Q,(y)t Q„(y)) а £f?,0)](2.5.9) a 2.0 ye l’(a) Исследуем задачу (2.5.9) с целью получения аналитических решений для ряда практически важных частных случаев. Обозначим К/ ={1,2, ..., kt} множество показателей деятельности /-го агента (множество компонент вектора его действий). Введем следующие предположения. А.4. Функции затрат агентов аддитивны и сепарабельны: Cityt) = Z i y j V K m ) , i eN. (2.5.10) jeK, A.5. Результат деятельности /-го агента аддитивно зависит только от его собственных действий: Zi = 6/0;) = Y ,Р4У4 , i eN.(2.5.11) jeK , Для того чтобы найти «равновесие Нэша» игры агентов, решим следуюI щую задачу: С ‘м ■"й 1. (2.5,12) Q,(yt>= *, В итоге получаем: = i M i & L ' х J e K h i £ N. (2.5.13) ZeK, / При этом минимальные затраты /-го агента на достижение результата деятельности Zj >0 равны > I |
242 Пример 5.1. Пусть k = 2 и z = y1 + b y2, y1, y2 ³ 0, h(z) = l z , c(y) = ((y1)2 + g (y2)2 ) / 2 r, где b, l, g, r – строго положительные константы. Получаем: C(z) = )(2 2 2 gb g +r z , z* (a) = g gba )( 2 +r . Из выражения (6) вычисляем: a* = 3/2 2 )( 4 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é +gb g l r . · Перейдем теперь к постановке и решению задачи синтеза оптимальной линейной многокритериальной системы стимулирования в многоэлементной ОС. Если имеются несколько агентов, то для использования единой ставки оплаты необходимо, чтобы их результаты деятельности zi Î Bi, i Î N, «измерялись» одинаково, то есть должно существовать множество B0, такое, что: Bi = B0, i Î N. Пусть центр установил ставку оплаты a ³ 0, то есть предложил агентам систему стимулирования: (7) sLi(zi) =a zi, i Î N. Данная система стимулирования является унифицированной, так как ставка оплаты a одинакова для всех агентов. Однако, агенты могут быть различными, поэтому проанализируем, какие действия они будут выбирать при данной системе стимулирования. Целевая функция i-го агента имеет вид: (8) fi(y) = a Qi(y) – ci(y), i Î N. Обозначим P(a) – множество равновесий Нэша игры агентов. Тогда задача синтеза оптимальной линейной системы стимулирования сводится к выбору оптимальной ставки оплаты: (9) a* = arg 0 max ³a )( min aPyÎ [h(Q1(y), …, Qn(y)) – a åÎNi i yQ )( ]. Исследуем задачу (9) с целью получения аналитических решений для ряда практически важных частных случаев. 243 Обозначим Ki = {1, 2, …, ki} – множество показателей деятельности i-го агента (множество компонент вектора его действий). Введем следующие предположения. А.5.4. Функции затрат агентов аддитивны и сепарабельны: (10) ci(yi) = åÎ i i Kj ijiij ry )/()( gg , i Î N. А.5.5. Результат деятельности i-го агента аддитивно зависит только от его собственных действий: (11) zi = Qi(yi) = åÎ iKj ijij yb , i Î N. Для того чтобы найти «равновесие Нэша» игры агентов, решим следующую задачу: (12) î í ì = ® ³ iii y ii zyQ yc i )( min)( 0 . В итоге получаем: (13) )(* iij zy = åÎ -i ii i i K ii ijiji r rz x g x g g x g b b 1 1 1 1 1 )()( )( , j Î Ki, i Î N. При этом минимальные затраты i-го агента на достижение результата деятельности zi ³ 0 равны (14) Сi(zi) = i iz g / (gi bi), i Î N, где (15) bi = 1 1 1 1 )()( Î -ú ú û ù ê ê ë é å i i ii i K ii r g x g x g g xb , i Î N. Затем находим для i-го агента результат деятельности )(* aiz , доставляющий максимум его целевой функции a zi – Сi(zi): (16) )(* aiz = ( ) 1 1 -iib ga , i Î N. В результате задача (9) превращается в стандартную оптимизационную задачу: |