|
ние УНРСС размерности, большей, чем п, нецелесообразно. Без потери общности будем считать, что w = п (если в результате решения задачи синтеза оптимальной УНРСС окажется, что некоторые оптимальные нормативы попарно совпадают, то может оказаться, что w < п). ф Для фиксированного вектора действий у положим Y(= у], i eN, и обозначим Су= С;(Yj), i eN, j = 0,w. Из определения реализуемогодействия (см. (2.7.1)) следует,чтодля того, чтобы УНРСС реализовывала вектору* (то есть, побуждала агентов выбирать соответствующие действия) необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств: qi ску;) > qjc i у]), i е N J = 0 ^ . (2.7.3) Обозначим суммарные затраты центра на стимулирование по реализации действия у УНРСС •5*0*) = Z ? ,(/). (2.7.4) ieN где qiy*) удовлетворяет (2.7.3). Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (2.7.4) при условии (2.7.3). При заданных размерах вознаграждений I исследование УНРСС сводится к необходимости ответа на следующий вопрос какие векторы действий агентов могут быть реализованы в этом классе систем стимулирования (иначе говоря, для каких действий система неравенств (2.7.3) имеет решение). ♦ 1 Обозначим ау(у ) = CjfYJ) —c^Yi), i е N, j —0,w. Введем в рассмотрение пф ф вершинный граф GJ^y ), веса дуг в котором определяются 1 1 ау(у ). В [9 1 ] доказано, что для того чтобы вектор у был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы граф бЦу*) не имел контуров отрицательной длины.. В упомянутой работе приведен также алгоритм поиска минимальных вознаграждений (за «попадание» в соответствующие диапазоны), реализующих заданный вектор действий агентов. Введем |
250 выбираемое i-ым агентом, определяется парой векторов (Y, q), то есть имеет место * iy (Y, q) = ikY , где (1) ki = arg wk ,0 max = {qk – ci(Yk)}, i Î N. Обозначим y* (Y, q) = ( * 1y (Y, q), * 2y (Y, q), ..., * ny (Y, q)). Задача синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности УНРСС w, вектора q = (q1, q2, ..., qn) и множества Y, удовлетворяющих заданным ограничениям, которые максимизировали бы целевую функцию центра F(×): (2) F(y* (Y, q)) ® qYw ,, max . Фиксируем вектор действий y* Î n + , который мы хотели бы реализовать с помощью УНРСС. Из того, что при использовании УНРСС агенты выбирают действия только из множества Y, следует, что минимальная размерность системы стимулирования должна быть равна числу попарно различных компонент вектора действий, который требуется реализовать. Следовательно, использование УНРСС размерности, большей, чем n, нецелесообразно. Без потери общности будем считать, что w = n (если в результате решения задачи синтеза оптимальной УНРСС окажется, что некоторые оптимальные нормативы попарно совпадают, то может оказаться, что w < n). Для фиксированного вектора действий y* положим Yi = * iy , i Î N, и обозначим cij = ci(Yj), i Î N, j = w,0 . Из определения реализуемого действия (см. (1)) следует, что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор y* (то есть, побуждала агентов выбирать соответствующие действия) необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств: (3) qi – ci( * iy ) ³ qj – ci( * jy ), i Î N, j = w,0 . Обозначим суммарные затраты центра на стимулирование по реализации действия y* УНРСС (4) J(y* ) = åÎNi i yq )( * , где q(y* ) удовлетворяет (3). 251 Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (4) при условии (3). При заданных размерах вознаграждений исследование УНРСС сводится к необходимости ответа на следующий вопрос, какие векторы действий агентов могут быть реализованы в этом классе систем стимулирования (иначе говоря, для каких действий система неравенств (3) имеет решение). Обозначим aij(y* ) = ci(Yj) – ci(Yi), i Î N, j = w,0 . Введем в рассмотрение n-вершинный граф Ga(y* ), веса дуг в котором определяются aij(y* ). В [171] доказано, что для того чтобы вектор y* был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы граф Ga(y* ) не имел контуров отрицательной длины. В упомянутой работе приведен также алгоритм поиска минимальных вознаграждений (за «попадание» в соответствующие диапазоны), реализующих заданный вектор действий агентов. Введем следующее предположение, в рамках которого задача может быть решена аналитически. А.5.6. Агентов можно упорядочить в порядке убывания затрат и предельных затрат: " y ³ 0 ' 1c (y) ³ ' 2c (y) ³ ... ³ ' nc (y), Фиксируем некоторый вектор y* Î n + , удовлетворяющий следующему условию: (5) * 1y £ * 2y £ ... £ * ny , то есть, чем выше затраты, тем меньшие действия агент выбирает. Введенным предположениям удовлетворяют, например, такие распространенные в экономико-математическом моделировании функции затрат агентов, как: ci(yi) = xi c(yi), ci(yi) = xi c(yi/xi), где c(×) – монотонная дифференцируемая функция, а коэффициенты (отражающие эффективность деятельности агентов) упорядочены: x1 ³ x2 ³ ... ³ xn (частными случаями являются линейные функции затрат, функции затрат типа Кобба-Дугласа и др.). В [171] доказано, что в рамках предположения А.5.6: 1) унифицированными нормативными ранговыми системами стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют (5.5); 2) оптимальная УНРСС является прогрессивной; |