|
окрестности этой точки, т.е. взвешенное среднее совпадает со значением самого тренда в данной точке, а взвешенное среднее случайных составляющих имеет тенденцию становиться весьма малой величиной. Тем самым довольно нерегулярный график наблюдений заменяется гладким графиком скользящего среднего. Иногда тренд является гладкой функцией времени, флуктуирует на любом коротком интервале времени незначительно, однако его невозможно представить простой функцией времени на всем интервале. Пусть имеются наблюдения у yj. Оценим тренд в точке t на основании выражения: т Л = t =m +\,...,T-т . (1.15) а= -т т Веса asпредполагаются нормированными = 1 и а —т т X asF (t +s) +s а ~ -т Веса as должны выбираться так, чтобы дисперсия величины st была намного меньше дисперсии величины st. Сглаженный ряд имеет примерно ту же последовательность математических ожидании, что и исходный, но зато меньшую дисперсию (одинаковую для всех членов). Однако последовательные члены сглаженного ряда в общем случае являются коррелированными и: * т т Me. еt+h ^ 1 t + зУ t+s+h сг2 т asas-h> h <2 т а ——т а=—т s~—m+h (1.17) О, h >2т Общая основа для большинства формул сглаживания состоит фактически в подборе сглаживающего полинома по (2т+1) последовательным наблюдениям и в использовании этого полинома для оценки тренда в средней точке. Поскольку оценки коэффициентов полинома |
реального смысла. Такой полином служит заменой гораздо более сложной, но неизвестной функции времени. Подобранный полином может быть использован для интерполяции. Для экстраполяции использовать его следует с особой осторожностью. Основная модель ошибок состоит в том, что наблюдаемая величина у { представлена в виде суммы временного тренда f (t ) и ненаблюдаемой ошибки е„ т.е. _y= f(t)+ et, где Л/е(= 0 Л/в,2= с 2, где f(t)= a a+ a ^ + ..,+ a mtm. Сглаживание временного ряда означает представление тренда в данной точке посредством взвешенного среднего значений, наблюдаемых в окрестности этой точки, т.е. взвешенное среднее совпадает со значением самого тренда в данной точке, а взвешенное среднее случайных составляющих имеет тенденцию становиться весьма малой величиной. Тем самым довольно нерегулярный график наблюдений заменяется гладким графиком скользящего среднего. Иногда тренд является гладкой функцией времени, флуктуирует на любом коротком интервале времени незначительно, однако его невозможно представить простой функцией времени на всем интервале. Пусть имеются наблюдения у \,...у т. Оценим тренд в точке t на основании выражения m У, = t m + 1,..., Т —m . a=-m m Веса asпредполагаются нормированными = 1 и а т т т у*= Y.asF(t+s)+zt е/ = Z а*е'+!. а=~т а т Веса as должны выбираться так, чтобы дисперсия величины е,* была намного меньше дисперсии величины et. Сглаженный ряд имеет примерно ту же последовательность математических ожиданий, что и исходный, но зато меньшую дисперсию (одинаковую для всех членов). Однако последовательные члены сглаженного ряда в общем случае являются коррелированными и т . ° 2 h ^ 2 m s=—m+h О, h > 2т Общая основа для большинства формул сглаживания состоит фактически в подборе сглаживающего полинома по (2т+1) последовательным наблюдениям и в использовании этого полинома для оценки тренда в средней точке. Поскольку оценки коэффициентов полинома зависят от наблюдаемых значений линейно, то линейной является и оценка тренда. Statistica. Для выполнения полиномиального сглаживания выполняется пункт 'Scatterplot’. На рис. 1.8. приведен тренд степени 5 для объемов заказов. 80 75 70 65 U l 60 ь 55 50 45 40 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Аппроксимация тренда полиномом y=42,222+2.992*x-0,454*xA2+0,033*xA3-9,423e-4*xA4+9,274e-6*xA5+eps т т £ / + /, — ^ ^j^s^h y t+ sV t+ s+ h а—-т а -—т Рис. 1.8. |