|
где [a, b] интервал распределения анализируемого сигнала X(t). Нетрудно видеть, что выражение (3.9) совпадает с выражением (2.32), определяющим оператор преобразования в случае использования функции преобразования (р (х) = Fn (х). Рассмотрим частный случай (обсуждавшийся в [58]), когда значения опорного процесса равномерно распределены на интервале, причем выберем интервал, равный [0,1] “>и(п) 1, xefO, 1]; О, х^[0,1]. (ЗЛО) Если значения процесса X(t) лежат также в интервале [0,1], то Fn (х) = х, а значение математического ожидания знаковой функции I . M[z(1)] = JFn(x)w x(x)dx = Jxcox(x)dx = M[x(t)]. (3.11) о 0 Из формулы (3.11) видна возможность определения среднего значения случайной функции X(t) по среднему значению знаковой функции M[X] = M[sgnZ]. Если в качестве оценки M[sgnZ] принять оценку вида [58, с.58] то получим ™х,. ~-^2Lz(iTo)> IN j=i (3.12) (3.13) где То интервал дискретизации процесса z(t). Для того чтобы получить оценки начального момента k-го порядка, как это видно из (3.11), функция распределения опорного процесса должна быть Fn(x) = xk, при этом 1 M[z(t)] = Jxk °x(x)dx = mX,k’ (3-Н) о 1 N “хл *„Xz(iTo) 14 i= 87 |
81 F (х) является функцией аргумента распределения сигнала и, следовательно, можно сделать вывод, что интервал распределения опорного сигнала должен быть, по крайней мере, не меньше, чем интервал распределения анализируемого сигнала X(t). Отсюда выражение для условного математического ожидания M[sgnZxl = Р[г < X (3.30) Из теории вероятностей известно [72], что математическое ожидание ус-1 s ^ s ловного математического ожидания некоторой случайной функции равно математическому ожиданию этой случайной функции. В данном случае M{M[sgnZx]} = M[sgnZ] ИЛИ ь M[sgnZ]= jM[sgnZx]oox(x)dx. (3.31) а Подставляя в уравнение (3.31) значение M[sgnZx] из формулы (3.30) с учетом (3.29), будем иметь: Ь х b M[sgnZ] = Mfz(t)] = J j CDn(ц)шх (х)dridx = fa(x )шx(x)dx, (3.32) а -оо где [a, bl интервал распределения анализируемого сигнала X(t). Нетрудно видеть, что выражение (3.32) совпадает с выражением (2.7), определяющим оператор преобразования в случае использования функции преобразования ф(х) = (х). Рассмотрим частный случай (обсуждавшийся в [58]), когда значения опорного процесса равномерно распределены на интервале, причем выберем интервал, равный [0,1] СОД о ) 1, х е[0,1]; О, х €[0,1]. (3.33) Если значения процесса X(t) лежат также в интервале Г0,1], то F^(х) = х , а значение математического ожидания знаковой функции 1 1 M[z(t)] = fFn(х)сох(х)dx = fx©x(x)dx Mfx(t). (3.34) о о Из формулы (3.34) видна возможность определения среднего значения случайной функции X(t) по среднему значению знаковой функции M[X] = M[sgnZ]. (3.35) Если в качестве оценки MfsgnZl принять оценку вида [58, с.58] 82 то получим eNA ^ i A rvm N ы где T0интервал дискретизации процесса z(t). Для того чтобы получить оценки начального момента k-го порядка, как это видно из (3.34), функция распределения опорного процесса должна быть F (х )-х к, при этом 1 M[z(t)]= JxkG>x (x)dx = mxk, (3.37) О x,k~S Z z(iTo) Таким образом, в зависимости от вида функции распределения опорного сигнала, не изменяя структуры измерителя, мы можем получать оценки моментов различных порядков. В [93] показано, что использование оценок вида (3.37) в качестве аргумента векторов признаков распознаваемых процессов эффективно в случае распознавания процессов с отличающимися одномерными плотностями вероятностей. Однако, в случае одинаковых одномерных распределений, характерных, например, для ЭЭГ-сигналов, эффективность таких признаков стремится к нулю. В случае одинаковых одномерных распределений распознаваемых классов можно поступить следующим образом. По примеру (3.17) и с учетом (3.25) будем формировать два процесса z 1, X(t) > U(t); fl, X (t)>v(t); О, X(t) |