|
200 O',i'i) (j, *,) (k,I,) Cx= O',j\) C/Ji) (^7i) (/,£,) (УД,) (A:,A:,) (3.12) где пары типа (/, //) — скалярное произведение базисных векторов. Рассмотрим еще одну систему координат: {02; i2, j 2> к2}. Предположим, что переход к этой системе координат от системы {0j; ii,jj, к{\ известных матриц преобразования. В общем случае матрица преобразования координат, описывающая «-шаговое вращение исходной системы координат, может быть представлена произведением матриц преобразования, описывающих вращение на каждом отдельном шаге, т.е. К рассмотренному способу перехода от одной системы координат к другой с помощью матриц преобразования, описывающих вращение, приходится довольно часто прибегать при вычислении положения многозвенного манипулятора. В связи с этим целесообразно выписать в явном виде матрицы преобразования, описывающие вращение вокруг каждой из осей прямоугольной системы координат. Пусть система координат с осями х, у, г повернулась вокруг оси х положительный (при отсчете по правилу правого винта) угол Ос, (рис. 3.33). Матрицу преобразования, описывающую данный тип вращения, обозна▲ осуществляется с помощью матрицы преобразования С2. Оказывается, что в этом случае для перехода от системы координат {0; i, j, к) к системе {02; i2, j'2, к2) доста0 е у точно воспользоваться матрицей преобразования С\ С2, полученной в результате перемножения двух X Рис. 3.33. Поворот системы координат воктт оси х (3.13) |
Особенности векторного метода Параллельный перенос и вращение системы координат Обозначим оси исходной прямоугольной системы координат через х, у, z; оси системы координат, полученной после применения к исходной операции параллельного переноса, — через х', у'; z', а оси системы, полученной после применения к последней операции вращения, — через хх, уь zx (рис. 3.28). Кроме того, обозначим базисные векторы старой и новой систем координат соответственно как (i, j, к) и (ii, jx, кх). Тогда эти системы координат можно записать в следующем виде: ' старая система координат {О; i, j, k}; новая система координат {Ох; К, jlt kj). Возьмем произвольную точку Р с координатами Р (х, у, г) в старой системе координат и Р {хг, y u гх) в новой системе. Между этими координатами существует соотношение вида ~х~ ‘*Г ~х\~ У = Сх Ух + У1 Z г\ Переменные х'и у г \ характеризуют величину параллельного переноса вдоль каждой из соответствующих осей при преобразовании систем координат О Ох. Другими словами, эти переменные являются координатами точки 0 Х (начало новой системы координат Ох), выраженными в старой системе координат. Множитель Ci в уравнении (3.4) называется матрицей преобразования координат, которая в данном случае описывает операцию вращения и состоит из следующих элементов; Сх С. h ) (/. h ) (k, h)' (г. It) (/. It) (A. it) (i, kx) (j, kx) (k, kx) (3.5) где пары типа (i, гх) — скалярное произведение базисных векторов. Рассмотрим еще одну систему координат; {02; г2, /2, k2}. Предположим, что переход к этой системе координат от системы {0Х; h, /ь М} осуществляется с помощью матрицы преобразования С2. Оказывается, что в этом случае для перехода от системы координат {О; г, /, k} к системе (О; /2) /2, k2} достаточно воспользоваться матрицей преобразования Сх-С2, полученной в результате перемножения двух известных матриц преобразования. В общем случае матрица преобразования координат, описывающая «-шаговое вращение исходной системы координат, может 74 рис. 3.28. Параллельный перенос и вращение системы координат. быть представлена произведением матриц преобразования, описывающих вращение на каждом отдельном шаге, т. е. C to tal — Ci' ‘ -Сп = 1Сп> (3.6) К рассмотренному способу перехода от одной системы координат к другой с помощью матриц преобразования, описывающих вращение, приходится довольно часто прибегать при вычислении положения многозвенного манипулятора. Это обусловлено широким распространением вращательных соединений в конструкциях манипуляторов промышленных роботов. В связи с этим целесообразно выписать в явном виде матрицы преобразования, описывающие вращение вокруг каждой из осей прямоугольной системы координат. Пусть система координат с осями х, у , г повернулась вокруг оси х на положительный (при отсчете по правилу правого винта) угол 0г (рис. 3.29). Матрицу преобразования, описывающую данный тип вращения, обозначим через Сх. Вычисляя ее элементы непосредственно из уравнения (3.5), получаем сАе,) = 'I о О cos 0г О sin 0г О sin 0г cos0. (3.7) Аналогично находятся матрицы преобразования координат Су и Сг, описывающие вращение вокруг осей у и г . Заменив для Удобства обозначения cos 0, и sin 0г на сг и st соответственно, запишем полученные матрицы в явном виде Су (0j) = Ct 0 «Г ~сх — Si O' 0 1 0 , С2(0г) = Si Ci 0 -~~Si 0 Сс 0 0 1 (3.8) 75 |