|
201 чим через Сх. Вычисляя ее элементы непосредственно из уравнения (3.38), получаем С, (0,) 1 о О cos 0, О sin в.■ О sin#, cos#. (3.14) Аналогично находятся матрицы преобразования координат Су и Cz;, описывающие вращение вокруг осей у иг. Заменив для удобства обозначения cosOi и sinOi на с,и соответственно, запишем полученные матрицы в явном виде ’ c i 0 ’ с , ~ s i o' СД#,) = 0 1 0 сд#,) = s i Cl 0 0 c i . 0 , Р0* 0 1_ (3.15) Правая часть уравнения (3.11) представляет собой сумму двух членов. Если вместо обычных матриц воспользоваться матрицами размерности 4 х 4?то уравнение (3.4) может быть приведено к виду X У z _ 1_ х1 С О О О у\1 z\ 1 1 хi У\ z1 1 АI х1 У\ z 1 1 Из выражения (3.15) следует, что А] есть не что иное, как 4 x 4 матрица преобразования координат, описывающая переход от системы (О; i,j, к} к системе {Oj; ibji, z j. г Если теперь с помощью матрицы преобразования Аг перейти от системы координат (Oi} к системе {Ог}, то общая матрица преобразования, описывающая переход (Oi}—>{Ог} аналогично матрице С в случае 3 x 3 матриц, может быть представлена произведением двух матриц перехода: Ai-A2. В общем случае 4 х 4-матрица преобразования, описывающая п шаговый переход от первоначальной системы координат к п и, задастся произведением вида Аtotal Аг-Ап —^Ап (3.16) |
Рис. 3.29. Поворот системы координат вокруг оси х. Обобщение метода преобразования координат Правая часть уравнения (3.4) представляет собой сумму двух членов. Если вместо обычных матриц воспользоваться матрицами размерности 4 x 4 , то уравнение (3.4) может быть приведено к виду ~ х ~ У Z _1 _ С о о х\ ~*Г y ’i У1 = A j У] г\ г, г1 0 1 1 1 (3.9) Из выражения (3.9) следует, что есть не что иное, как 4 x 4 матрица преобразования координат, описывающая переход от системы {О; г, /', к) к системе {0Ь/х, /,, кг} Если теперь с помощью матрицы преобразования А 2 перейти от системы координат {0^ к системе { {О} -* {02} аналогично матрице С в случае ЗхЗ-матриц, может быть представлена произведением двух матриц перехода; А 1А 2 . В общем случае 4 X4-матрица преобразования, описывающая «-шаговый переход от первоначальной системы координат к n-й, задается произведением вида t o t a l “ А \ ' ' • А п А п .i t o t a l = / ! ) • • Матрицам Сх, Су, Сг (см. (3.7), матрицы преобразования координат — А, а О О О Су О 0Г 1 0 0 С х 0 0 V 1 . 1_ Г с г 0 ' А 2 L0 r 1 (3.10) (3.8)) соответствуют 4 x 4 (3.11) 76 |