203 Следовательно, серия переходов от одной системы координат к другой, в которой операции вращения и параллельного переноса некоторым образом чередуются, может быть описана одной 4 х 4-матрицей ВШаи В частности, эта матрица может выглядеть как Вtotal А\ *А2 *... ■Ат *jLj * Ат+\ ..,An-L2='Am -Lr-An-L (3.20) Рис. 3.35 Типовая блок-схема доильного аппарата как системы яитпмятичег.кпгп пргл/ггипппяния Заметим, что в робототехнике помимо рассмотренных вращательных и поступательных механизмов широко используются манипуляторы с так называемым скользящим, или телескопическим, механизмом соединения звеньев. Очевидно, что приведенный математический аппарат полностью пригоден для описания и этого типа соединений. В качестве модели доильного аппарата выполняющего автоматическое доение используется типовая система автоматического управления ^пис.3.35). Она включает задающее устройство ЗУ на вход которого поg(t) _.упает управляющее воздействие g(t) (которой соответствует функция молокоотдачи g(t) = Cley'1+С2еУ2'); усилительные элементы У2, У4, У5; исполнительный элемент И6; измерительный элемент И9; корректирующие устройства последовательного действия КЗ и параллельного действия К8 и, наконец, объект регулирования К7. Устройства 1,2,9 образуют датчик, |
где 0 — трехмерный нулевой вектор-столбец, а 0Г — полученный транспонированием нулевой вектор-строка. С помощью 4-мерных вектор-столбцов, 4-мерных вектор-строк я 4 X 4-матриц можно описывать не только вращение систем координат, но и параллельный перенос. В частности, матрица преобразования координат Lx, описывающая параллельный перенос системы координат вдоль оси х на величину Iх в положительном направлении (рис. 3.30), имеет вид I r l 0 0 Iх! 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 и Iх 0Г 1 (3.12) Здесь U — единичная матрица, а вектор 1Х — [/* 0 0 ]г . Аналогично матрицы преобразования L v, Lt , описывающие переход от одной системы координат к другой в результате параллельного переноса вдоль осей у и z, записываются как U iv 0 Г 1 U lz 0 Т 1 (3.13) В этих выражениях 1У = [0, 1У, 0 ] г и 1г ~ [0, 0, lz ]T. Таким образом, если воспользоваться формой записи в 4 x 4 матрицах, то характерные различия в структуре матриц L и А исчезают. Следовательно, серия переходов от одной системы координат к другой, в которой операции вращения и параллельного переноса некоторым образом чередуются, может быть описана одной 4х4-матрицеи BtotaiВ глядеть как В total = А ]•A2• . . . •A mL\A Рис. 3.30. Параллельный перенос системы координат вдоль оси х. частности, эта матрица может вы:+1...A „ L 2 = lA mL ? +lA nL2. (3.14) 77 Поскольку имеют место соотношения т '~'П о т "+1л, m+lC^ QT произведение (ЗЛ4) удобно преобразовать к виду В total lA mL ? +[A nL2 xCn LCmli lCnli от 1 (ЗЛ5) Из уравнений (3.4), (3.9) и (3.15) находим, что координаты (хи у ъ Zx) начала системы координат, к которой был осуществлен переход, в первоначальной системе координат выражаются как (*г> Уь zi)T — lCmh + lCnl2. (3.16) Полученное выражение проясняет физический смысл элементов первых трех строк четвертого столбца в развернутом представлении матрицы (3.15). Таким же образом можно установить, что 3 x 3 -матрица Ctotai, описывающая результирующее преобразование координат, полученное путем последовательного применения всех заданных операций вращения, имеет вид C to ta i = * С П . ( З Л 7 ) ♦ ♦ ♦ Заметим, что в промышленной робототехнике помимо рассмотренных вращательных и поступательных механизмов широко используются манипуляторы с так называемым скользящим, или телескопическим, механизмом соединения звеньев. Очевидно, что приведенный математический аппарат полностью пригоден для описания и этого типа соединений. Следует, однако, иметь в виду, что элемент Iх вектора 1Х [(3.12)— (3.15)] в данном случае становится переменной величиной. Пример применения 4 X 4-матриц для расчета положения манипулятора В качестве иллюстрации метода расчета положения манипулятора с помощью выведенного выше общего уравнения (3.15) определим позицию и ориентацию запястья механической руки антропоморфного манипуляционного устройства, разработанного в Японском научно-исследовательском центре проблем механики. Кинематическая схема этого манипулятора (сокращенно MELARM-I) показана на рис. 3.31. Поскольку манипулятор MELARM-I предназначен для воспроизведения двигательных возможностей руки человека, его кинематика также приближена к кинематике руки, и, следовательно, механические соединения всех звеньев обеспечивают только вращательное перемещение. Как следует из рис. 3.31, пространственная позиция локтевого шарнира Е в жестко связанной с плечевым шарниром системе координат СХ 0 (х 0, у0, 2 0) может изменяться только за счет вращения на углы 0 1 , 02, совершаемого при помощи двух вращатель78 |