|
274 Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы ЧМЖ в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {У}},{У2)}»—»{УЛ)} имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Необходимо по выборочным средним значениям при некотором уровне значимости у проверить нулевую гипотезу Н0 о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т.е. рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ. Допустим, изучаемый фактор х привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: yj, уг,—, ук, где к количество уровней фактора х. Влияние фактора х будем оценивать неслучайной величиной До называемой факторной дисперсией: где у среднее арифметическое значение величины Y. Если генеральная дисперсия D[y] известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнить D[y] с выборочной дисческое. значение F3попадает в критическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значений х неслучайным. Если генеральная дисперсия D[yJ до проведения машинного эксперимента с моделью Мм неизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку. Пусть серия наблюдений на уровне yt имеет вид: уц,уц,—, у in, где 72число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений к Dx = <т2х = X О,.-у)! к, Персией Sb , используя критерий Фишера (F-распределение). Если эмпириа среднее значение наблюдений по всем уровням |
N к I*. 1-2 J» I*1-1 I*?1-1 *0 — h К I. У.1-1 N i 1 Решая это уравнение, получаем *о-(I У. I *?-1 *. I *.)/[* I *?-(£*)} *i=(* 1 ья-! * ji *)/[* i x >-(i *<)2 } где N — число реализаций при моделировании системы. Соотношения для вычисления Ьа и Ь1 требуют минимального объема памяти ЭВМ для обработки результатов моделирования. Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение * [ ( £ «?)/(АГ-2)], / 2 -[1 ( * о А 1 * 1 л ) я ] ^ 2 ) " 2 . Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находится в пределах одного отклонения ае от линии регрессии и 95% — в пределах 2в> (трубки А в В соответственно на рис. 7.2, 6). Для проверки точности оценок Ь0 и Ь. регрессионной модели могут быть использованы, например, критерии Фишера (Fраспределение) и Стьюдента (/-распределение). Аналогично могут быть оценены коэффициенты уравнения регрессии и для случая нелинейной аппроксимации. Дисперсионный анализ результатов моделирования. При обработке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожидание совокупностей случайных переменных {Ух) }, {/2) }, •••, {Уп) } отличается незначительно, то статистический материал, полученный в результате моделирования, можно считать однородным (в случае равенства двух первых моментов). Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах исследуемой модели Мм, а следовательно, и системы S. Попарное использование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличием большого числа выборок при моделировании системы. Поэтому для этой цели используется дисперсионный анализ. Пример 7.3. Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {у(1) }, (У2 '}, •••, {ум } имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию Необходимо по выборочным средним значениям при некотором уровне значимости у проверить нулевую гипотезу Н0 о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т е рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ. Допустим, изучаемый фактор х привел к выборке значений неслучайной 251 величины У следующего вида: у1а у2, •••> Ук, где к — количество уровней фактора х. Влияние фактора будем оценивать неслучайной величиной Dx, называемой факторной дисперсией: Л х o J £ (y,-y)lk, 1-1 где р — среднее арифметическое значение величины У. Вели генеральная дисперсия D [у] известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнить D \у] с выборочной дисперсией Si, используя критерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значение F3 попадает в критическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значений х — неслучайным. Если генеральная дисперсия D [х] до проведения машинного эксперимента с моделью Мм неизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку. Пусть серия наблюдений на уровне у-, имеет вид у,\, уц ут, где и — число повторных наблюдений на I-M уровне. Тогда на ;'-м уровне среднее значение наблюдений 1 " У-=~ I УФп i-i а среднее значение наблюдений по всем уровням I * " 1 * У—JZ I I У'у-г. Z УОбщая выборочная дисперсия всех наблюдений При этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора х. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D\y] на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами. Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами, *м ^СЦ*-Ц(£")"} а оценка факторной дисперсии At-£M-£e M. Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на I-M уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в п раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем более точную оценку выборочной дисперсии' Д.+ 1 А>М=7—,1 iy.-yf-п к J 1-Х Умножив обе части этого выражения на п, получим в правой части выборочную дисперсию Si, имеющую (к— 1)-к> степень свободы. Влияние фактора х будет значимым, если при заданном у выполняется неравенство SljD0[y\>F\-y В противном случае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и счя252 |