|
Численное дифференцирование Наиболее распространенная функция распределения имеет вид единичной ступенчатой функции со скачком в точке t (обозначим функцию l(t)). Свертка с данной функцией распределения смещает случайную величину на константу t. Например, свертка нормального распределения N(a, d) с l(t) даст нормальное распределение N(a+t, d). Данная функция дифференцируема на всем множестве определения, исключая точку t. Важно, чтобы функция, полученная при помощи дифференцирования этой функции, была строго неотрицательной, в противном случае это противоречит свойствам функции плотности распределения и может приводить к отрицательным значениям в результирующей функции распределения или появлению участков ее убывания. Очевидно, что это недопустимо для функций распределения случайной величины. Данным ограничениям удовлетворяет только следующие формулы приближенного численного дифференцирования: /ЧХо) * 0 < 4 Следует отметить, что оценка погрешности численного метода /дифференцирования не применима при оценке погрешности в нашем случае, поскольку дифференцируемые функции заданны множеством значений в узлах сетки, а не аналитическими функциями. Однако данные оценки погрешности могут быть учтены исследователем при выборе h. Используя данные формулы дифференцирования, получаем, что приближенная производная функции l(ht) равна нулю на всем множестве значений, кроме точки ht, где она имеет значение 1/h. Возмущения данной функции локализованы и «неразмыты», что повышает точность выполнения свертки. 71 |
Численное дифференцирование. Наиболее распространенная функция распределения имеет вид единичной ступенчатой функции со скачком в точке t (обозначим функцию l(t)). Свертка с данной функцией распределения смещает случайную величину на константу t. Например, свертка нормального распределения N(a, d) с l(t) даст нормальное распределение N(a+t, d). Данная функция дифференцируема на всем множестве определения, исключая точку t. Важно, чтобы функция, полученная при помощи дифференцирования этой функции, была строго неотрицательной, в противном случае это противоречит свойствам функции плотности распределения и может приводить к отрицательным значениям в результирующей функции распределения или появлению участков ее убывания. Очевидно, что это недопустимо для функций распределения случайной величины. Данным ограничениям удовлетворяет только следующие формулы приближенного численного дифференцирования: /'(* ,о) * /(Х )~ / ( *о), R(f) = О<£/( * ,) * / М ~ П х ' \ R(f) = ± /"(£ )* , h < ? < 0; h 2 где R погрешность численного метода дифференцирования. Следует отметить, что оценка погрешности численного метода дифференцирования не применима при оценке погрешности в нашем случае, поскольку дифференцируемые функции заданны множеством значений в узлах сетки, а не аналитическими функциями. Однако данные оценки погрешности могут быть учтены исследователем при выборе h. Используя данные формулы дифференцирования, получаем, что приближенная производная функции l(ht) равна нулю на всем множестве значений, кроме точки ht, где она имеет значение 1/h. Возмущения данной функции локализованы и «неразмыты», что повышает точность выполнения свертки. 61 |