|
Естественно, что аналогичным образом можно определить и степень 32 включения ц(В,А) нечеткого множества В в нечеткое множество А . Если ц(А,В) >0,5, то будем полагать, что множество А нечетко включается в множество В . И наоборот, если и(А,В) <0,5, то будем считать, что множество А нечетко не включается в множество В . Понятие включения одного нечеткого множества в другое используется для описания различных нечетких подмножеств технических состояний изделия, например, исправное и работоспособное, неисправное и работоспособное, неисправное и неработоспособное. Рассмотрим теперь понятие степени равенства двух нечетких множеств выражением МА,В )=& ( ¿ J s ) 4» X , (*» • (2.5) Если Л(А,В)>0,5, то будем полагать, что множества А и В нечетко равны. И наоборот, если Л(А,В)< 0,5, то будем считать, что множества А и В нечетко не равны. Если А(А,В)=0,5, то множества А и В являются взаимно индифферентными. Представим выражение (2.5), используя определение операции эквивалентности нечетких высказываний, в виде /■V/V iei Ввиду коммутативности конъюнкции получаем м а в )= & « л л( ! ) ^ л ,('»&< 4 . <л,(*)->л,('»>(2-7) seS что в соответствии с (2.3), приводит к М Л В ) = р ( А ,В )& а (В ,А ), (2.8) то есть степень равенства нечетких множеств равна минимальной из степеней их взаимного включения. Отсюда вытекает метод доказательства нечеткого равенства двух и более нечетких множеств, основанный на доказательстве взаимного нечеткого включения. Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами. Пусть А и В нечеткие множества в 5, причем А = { ( Х а( ^ ) / $ ) } , а В = { { Х в(х)/я) }, |
чать А % . В . Легко вцдеть, что рассмотренное понятие нечеткого включения нечетких множеств является обобщением понятиявключения четких множеств. Действительно, если А и В — четкие множества и А ^ В %то » ( А , В) = 1, а в случае если А*}. В, величина и(А, В) = 0. П р и м е р 1.4. Пусть X = { х ь х 2, . . . » * 5} , А = { <0,3/х2 >» <0,6/х3 >, <0,4/х5 >}, В = {< 0,8/х 1>, <0,5/х2 >, <0,7/хз >» <0,6/х5 >}. Тогда v(A^ В ) = (0 -+ 0,8) & (0,3 -►0,5) 4 (0,6 -►0,7) 4 (0 0) & (0,4 -►0,6) = = 1& 0,7 4 0,7 4 1 4 0,6 = 0,6, «>(Я, А ) = (0,8 -►0) 4 (0,5 -►0,3) & (0,7 0,6) & (0 -►0) 4 (0,6 -►0,4) = = 0,2 4 0,5 4 0,6 4 1 4 0,4 = 0,2. Таким образом, А £ В, а В А . Подчеркнем, что степень включения одногонечеткогомножества в другое может быть определена для любых двух нечетких множеств. При этом она принимает любое значение от 0 до 1 включительно. Рассмотрим теперь понятие степени равенства двух нечетких множеств^ Пусть А и В нечеткие^множества в X . Определим степень равенства ц ( А чЙ) нечетких множеств А н В выражением м (Л , £ )» 4 (рА (х )* -+ ц в (х))< (1.23) где — операция эквивалентности нечетких высказываний, а ” 4 ” операция конъюнкции по всем х 6 1 . _ _ Если д (Л , В ) > 0,5, то будем полагать, чтомножества А и В нечетко равны, и обозначать А ** В. Если р(А> В ) < 0,5, то будем считать, что множества Л и В нечетко не равны, и обозначать А ** В. В случае, когда ц (А %В ) = 0,5, множества А и В одновременно нечетко равными не равны. Назовем их взаимно индифферентными и обозначим А В. Ясно, что рассмотренное понятие является обобщением понятия равенства четких множеств А и В, так как в случае А = Вимеем ц (А , В ) = 1, апри А Ф В получаем ц (А , В ) = 0. ^ П р и м е р 1.5. Пусть X = { х 1, х 2, . . . , х 5), А = { < 0,8/х2 >, <0,6/х3 >, <0,1/х5 >}, В = {< 0,3/х! >, <0,6/х2 >, <0,7/х3 >, <0,2/х 4 >, < 0,3/х5 » . Тогда /х(Л, В ) = (0 «-► 0,3) 4 (0,8 <-► 0,6) 4 (0,6 «-* о,7) & (0 <-* 0,2) 4 4 ( 0,1 «-► 0,3) =^0,7 & 0,6 & 0,6 & 0,8 4 0,7 = 0,6. Поскольку д (Л , В) = = 0,6, имеем Л ^ В . Подчеркнем, что степень равенства может быть определена для любых двух нечетких множеств и принимает любое значение от 0 до 1. Представим выражение (1.23), используя определение операции эквивалентности нечетких высказываний, в виде ц( А, В ) = & (Ь1а (х)-*-1Хв {х))& .(р в ( х)-* И л (х ))). х ^ Х Ввиду коммутативности конъюнкции получаем ц ( А , В ) = & (рА (х )-> ц в ( х ) ) & ( & (цв ( х ) ^ цА (х ))\ Х б Т X 0 X 20 что, в соответствии С (1.22) , приводит к Получаем, что степень равенства нечетких множеств равна минимальной из степеней их взаимного включения.^ _ _ _ Если ц (А , А ) > 0,5, т.е. множества А и В нечетко равны, то и(Л , В ) > > 0,5 и р (Д Я ) > 0,5. Следовательно, множество Л нечетко включается в множество А, и наоборот. Отсюда вытекает метод доказательства нечеткого равенства двух и более нечетких множеств, основанный на доказательстве взаимного нечеткого включения. 1.2.2. Теоретико-множественные операции над нечеткими множествами^ Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами. Пусть А и В нечеткие множества в X , причем Л ={< рА (* ) /х >}, а А = {< (х ) /х>), * е х ~ _ Объединением множеств А и 2?называется нечеткое множество, обозначаемое Л и А и определяемое как А ^ В = {<цл и в (х)1х)}, х € Х , где * и и в (* ) = М,4(* ) У д в (х ). (1.24) Д руп1ми словами, множество А и В — это нечеткое множество, такое, что А & А V В к ВЯ. А и В. __ Пересечением множеств А и В называется нечеткое множество, обозначаемое А П В и определяемое как А П В = ( < ца п в (х )1х » , х Е Х , где ^ п в ( * ) = М * ) & М * ) (1 2 5 ) Иначе говоря, нечеткое множество Л П А нечетко включается в Л и А, т.е. Л~П а £ Л и Л П А £ А. _ Дополнением множества Л называется нечеткое множество, обозначаемое Л П А и определяемое как ”1Л = {< цПА(х)/ х)}, х Е Х . где (1.26) Разностью множеств Л и А называется нечеткое множество, обозначаемое Л \А и определяемое как Л \А = { ( 1хА\в (х)/х >}, х Е ЛГ, где » а \в (* ) = (* ) & “ Iдв ( л ) . (1.27) Симметрической разностью множеств Л и А называется нечеткое множество, обозначаемое Л © А и определяемое как Л е В = { ( ц А е в (х)/х)}, хЕЛГ, 21 |